erzeugende Funktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Di 03.01.2006 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | Hallo,
kann mir jemand sagen, was genau eine "erzeugende Funktion" in der Stochastik ist und vor allem, wozu diese Dinger gut sind?
Ich habe einmal die Funktion f(t)=(t-2)^(-2) gegeben und soll zeigen, dass die eine erz. Funktion ist. Was genau muss man da für Eigenschaften nachweisen?
Entsprechend soll ich zeigen, wie man den Paramter A bei der Funktion [mm] g(t)=A*(e^t-e^{-t}) [/mm] wählen muss, damit sie eine erz. Funktion wird. Die Lösung kriege ich dann sicher selbst hin, wenn ich erstmal die Funktion f hinbekommen habe.
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Vielen Dank!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.emath,de habe aber in 24 stunden keine antwort erhalten
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Hallo,
man spricht in der Stochastik von erzeugenden Funktionen im Zusammenhang mit
diskreten ganzzahligen Zufallsvariablen.
(1) Sei [mm] a_0,a_1,a_2,... [/mm] eine Folge reeller Zahlen. Falls
F(s) = [mm] a_0 [/mm] + a_1s + [mm] a_2 s^2 [/mm] + [mm] a_3 s^3 [/mm] +.......
in einem Intervall [mm] -s_0 [/mm] <s < [mm] s_0 [/mm] konvergiert, so heisst A(s) erzeugende Funktion der Folge
[mm] (a_n)_{n\in\IN}.
[/mm]
(2) Sei X eine ZV, die nur nicht-negative ganzzahlige Werte annimmt.
Seien
[mm] p_j=Pr\{X=j\} [/mm] und [mm] q_j=Pr\{X>j\}
[/mm]
Die erzeugenden Funktionender Folgen [mm] (p_j) [/mm] und [mm] (q_j) [/mm] sind
P(s) = [mm] p_0 [/mm] + [mm] p_1 [/mm] s + [mm] p_2s^2 [/mm] + ....
Q(s) = [mm] q_0 [/mm] + q_1s + [mm] q_2s^2 [/mm] +......
Wegen P(1)=1 konvergiert P(s) jedenfalls fuer [mm] -1\leq s\leq [/mm] 1. Da die Koeffizienten
[mm] q_j [/mm] fast alle <1 sind, konvergiert Q(s) jedenfalls fuer -1 < s< 1.
Es gilt zB fuer den Erwartungswert
E(x) = [mm] \sum_{j=1}^{\infty}jp_j [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}q_k [/mm] = P'(1) = Q(1).
Informationen zu erzeugenden Funktionen finden sich in nahezu jedem
umfangreicheren Lehrbuch zur Stochastik.
Du musst bei Deiner Aufgabe also untersuchen, wann die Fkt. erzeugende Funktionen
einer Zahlenfolge [mm] (a_n) [/mm] sind, und ggf., wann sie erzeugende Fkt. von Wahrscheinlichkeitsverteilungen [mm] (p_j) [/mm] sind.
Gruss,
Mathias
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