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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mo 13.03.2006 | | Autor: | koios |
| Aufgabe | Gegeben ist im [mm] R^4 [/mm] der lineare Teilraum A + U mit A = (1;3;0;1) und dem von b1:= ( 0;1;2;2) und b2:= (1;0;1;1) erzeugten Unterraum U.
Gegeben ist der Punkt P(3;6;-5;9).
a.) Orthonomieren sie die Basis von U.
b.) Wie groß ist der Abstand des Punktes P von A+U? |
Hi,habe Probleme mit der Aufgabe da ich nicht genau weiß wie ich im [mm] R^4 [/mm] eine orthonomierte Basis mit nur zwei Angaben bilden kann.Desweiteren könnte mir vielleicht jemand ein Rechenbeispiel zu einem aufgespannten unterraum geben.
Vielen Dank im voraus,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Zunächst an alle erschreckten Schüler:
Dies ist keine Aufgabe für die Schule sondern eine für Mathe-Studenten, das wird Euch in der Schule nie begegnen!
Hallo lieber koios,
der Unterraum ist [mm] Span\{b_{1};b_{2}\} [/mm] wenn ich das richtig verstanden habe.
Basteln wir uns daraus eine ONB:
Anwendung des Gram-Schmidtschen Ortonormierungsverfahrens: (Siehe auch in diesem Beitrag)
Seien die neuen Vektoren mit [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] bezeichnet.
Dann ist
[mm] $c_{1}=\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}$
[/mm]
Nach Gram-Schmidt ist
[mm] $c_{2}'=b_{2}-\frac{}{}\cdot{}c_{1}$ [/mm] mit $<.;.>$ als Skalarprodukt.
[mm] $c_{2}=\frac{c_{2}'}{\|c_{2}'\|}$
[/mm]
Deine Bedenken bezüglich der Länge der Basis sind verständlich, jedoch ist das kein Problem: Gefragt ist ja nicht eine Basis für den [mm] \mathbb{R}^4 [/mm] sondern für U. Die Dimension des Unterraumes muss ja nicht die Dimension des Oberraumes sein, sie darf ja nur nicht größer sein. Meistens wird ein Unterraum wohl eine kleinere Dimension haben. Und (wie Du ja richtig erkannt hast) ist nun mal $dim(U)=2$
Zu b)
Der lineare Teilraum A+U ist eine Ebene mit Aufpunkt A und den Richtungsvektoren b bzw. c, es gehen natürlich beide... gefragt ist also der Abstand zu dieser Ebene.
Es mag sein dass es eine elegantere Lösung gibt, spontan würde ich jedoch vorschlagen:
Sei (groß) C der allgemeine Ebenenpunkt von A+U,
so muss gelten [mm] $=0$ [/mm] und [mm] $=0$. [/mm] aus diesen Bedingungen müsste sich der auf der Ebene A+U senkrecht stehende Verbindungsvektor finden lassen.
Man braucht dann nur noch den Betrag des Vektors zu bestimmen.
Achtung: man könnte sich vielleicht in Erinnerung an die Schule dazu verleiten lassen, einfach das Kreuzprodukt aus den c-Vektoren zu bilden um den Normalenvekor der Ebene zu finden. Dies geht im [mm] \mathbb{R}^3, [/mm] jedoch nicht im [mm] \mathbb{R}^4, [/mm] da hier das Kreuzprodukt kein vernünftiges Ergebnis liefert!
Ich hoffe das hilft Dir ein wenig weiter, schau Dir ruhig unter obigem Link mal an, wie man Gram-Schmidt rechnet, wenn Du dann noch Probleme hast frag einfach noch mal nach!
Viel Erfolg und weiterhin viel Spaß mit Mathematik und LA!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Do 16.03.2006 | | Autor: | koios |
wollte mich nur mal kurz für die prompte beantwortung meiner frage bedanken
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