euklid. Metr. bei Matrizen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:14 Mo 20.04.2009 | | Autor: | kunzmaniac |
Hallo!
(die Frage habe ich nur hier gestellt)
Ich arbeite gerade an einer Aufgabe, bei der ich nachweisen muss, dass [mm] O(n,\IR) [/mm] im [mm] \IR^{n}^{2} [/mm] bez. der euklidischen Metrik kompakt ist.
Ich bin mir jetzt unsicher, wie diese Metrik auf diesem Raum aussieht, und habe mir folgendes überlegt:
d(A, B) = [mm] \wurzel{ \summe_{i,j=1}^{n}(a_{ij}-b_{ij})^{2} }, \forall [/mm] A, B [mm] \in \IR^{n}^{2}
[/mm]
stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:45 Di 21.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> (die Frage habe ich nur hier gestellt)
> Ich arbeite gerade an einer Aufgabe, bei der ich
> nachweisen muss, dass [mm]O(n,\IR)[/mm] im [mm]\IR^{n}^{2}[/mm] bez. der
> euklidischen Metrik kompakt ist.
> Ich bin mir jetzt unsicher, wie diese Metrik auf diesem
> Raum aussieht, und habe mir folgendes überlegt:
>
> d(A, B) = [mm]\wurzel{ \summe_{i,j=1}^{n}(a_{ij}-b_{ij})^{2} }, \forall[/mm]
> A, B [mm]\in \IR^{n}^{2}[/mm]
>
> stimmt das?
Das ist eine Moeglichkeit. Man kann auch mittels der euklidischen Norm [mm] $\|\bullet\|_2$ [/mm] auf [mm] $\IR^n$ [/mm] die Matrixnorm [mm] $\|A\|_2 [/mm] = [mm] \sup_{v \in \IR^n \setminus \{ 0 \}} \frac{\| A v \|_2}{\| v \|_2}$ [/mm] definieren, und dann $d(A, B) = [mm] \|A [/mm] - [mm] B\|_2$.
[/mm]
Es ist im Endeffekt allerdings auch voellig egal: egal durch welche Norm auf [mm] $\IR^{n \times n}$ [/mm] die Metrik $d$ induziert wird, es entsteht immer die gleiche Topologie. Ob $O(n, [mm] \IR)$ [/mm] kompakt ist haengt also ueberhaupt nicht davon ab, wie du die Metrik definierst.
Ich tippe mal, dass die Metrik, die du beschrieben hast, gemeint ist. Du musst also zeigen, dass $O(n, [mm] \IR)$ [/mm] abgeschlossen und beschraenkt ist (das ist in endlichdimensionalen normierten Vektorraeumen aequivalent zur Kompaktheit). Beschraenktheit ist einfach mit deiner Norm oben (was bilden die Spalten einer orthogonalen Matrix?), und zur Abgeschlossenheit beachte das alle Standard-Matrizenoperationen (Multiplikation, Transponieren) stetig sind.
LG Felix
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Erst einmal vielen Dank für die super Antwort!
Die Beschränktheit ist tatsächlich einfach, da ja die Spaltenvektoren normiert sind und desshalb die Summe der Quadrate ihrer Einträge immer 1 ergibt. D.h. die Matrizen der othogonalen Gruppe haben immer den Abstand [mm] \wurzel{n} [/mm] zum Ursprung und sind somit beschränkt durch eine offene Kugel um den Ursprung mit Radius größer [mm] \wurzel{n}. [/mm]
Könnte man die Abgeschlossenheit nich auch über Folgenabgeschlossenheit zeigen?
wenn [mm] (O_{k}) \to [/mm] O konvergiert und alle [mm] O_{k} \in O(n,\IR), [/mm] dann müsste auch O in der Orthogonalen Gruppe liegen.
Es gilt ja [mm] O_{k}^{t} [/mm] * [mm] O_{k} [/mm] = [mm] I_{n} [/mm] für alle k.
jetzt bilde ich den Limes k [mm] \to \infty:
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (O_{k}^{t} [/mm] * [mm] O_{k}) [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} I_{n} [/mm] = [mm] I_{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow O^{t} [/mm] * O = [mm] I_{n} [/mm] (den Limes darf ich nach den Permanenzregeln in die Klammer ziehen, da Matrizenfolgen genau dann konvergieren, wenn sie Komponentenweise konvergieren)
[mm] \Rightarrow [/mm] O [mm] \in O(n,\IR).
[/mm]
macht das Sinn, oder habe ich etwas übersehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Di 21.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Alles bestens !
FRED
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