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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - euklidisch oder faktoriell
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euklidisch oder faktoriell: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Di 11.02.2014
Autor: derriemann

Aufgabe
Welche der folgenden Ringe sind faktoriell, welche sind euklidisch?

i) [mm] \IQ(\wurzel{-6}) [/mm]   ii) [mm] \IR[X_{1},X_{2}] [/mm]   iii) [mm] \IZ_{13}[X] [/mm]

Hallo,

bin grade bei der Klausurvorbereitung und über diese alte Klausuraufgabe gestolpert, bei der ich ein wenig hänge.

Also es gilt ja: euklidischer Ring [mm] \Rightarrow [/mm] Hauptidealring [mm] \Rightarrow [/mm] faktorieller Ring

zu i)

wüsste leider spontan nicht, woran man das sehen sollte, ob euklidisch oder nicht. Mein Bauchgefühl sagt euklidisch, aber natürlich nicht sehr mathematisch^^

zu ii)

meiner Erinnerung nach müsste das zumindest ein Hauptidealring sein und somit faktoriell

zu iii)

da [mm] \IZ_{13} [/mm] ein Körper, daraus müsste folgen [mm] \IZ_{13}[X] [/mm] Hauptidealring und somit faktoriell

Wäre über Aufklärung dankbar :-)

LG

        
Bezug
euklidisch oder faktoriell: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Di 11.02.2014
Autor: MaslanyFanclub

Hallo,

> Welche der folgenden Ringe sind faktoriell, welche sind
> euklidisch?
>  
> i) [mm]\IQ(\wurzel{-6})[/mm]   ii) [mm]\IR[X_{1},X_{2}][/mm]   iii)
> [mm]\IZ_{13}[X][/mm]
>  Hallo,
>  
> bin grade bei der Klausurvorbereitung und über diese alte
> Klausuraufgabe gestolpert, bei der ich ein wenig hänge.
>  
> Also es gilt ja: euklidischer Ring [mm]\Rightarrow[/mm]
> Hauptidealring [mm]\Rightarrow[/mm] faktorieller Ring
>  
> zu i)
>  
> wüsste leider spontan nicht, woran man das sehen sollte,
> ob euklidisch oder nicht. Mein Bauchgefühl sagt
> euklidisch, aber natürlich nicht sehr mathematisch^^

Der "Ring" ist euklidisch, aber eigentlich ist das hier eine Fangfrage.

> zu ii)
>  
> meiner Erinnerung nach müsste das zumindest ein
> Hauptidealring sein und somit faktoriell

Das ist kein HauptIdealRing, da [mm] $(X_1,X_2)$ [/mm] kein Hauptideal. Allerdings faktoriell nach einem extrem wichtigen Satz über faktorielle Ringe.  

> zu iii)
>  
> da [mm]\IZ_{13}[/mm] ein Körper, daraus müsste folgen [mm]\IZ_{13}[X][/mm]
> Hauptidealring und somit faktoriell

Der Ring ist sogar euklidisch.

> Wäre über Aufklärung dankbar :-)
>  
> LG


Bezug
                
Bezug
euklidisch oder faktoriell: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:01 Di 11.02.2014
Autor: felixf

Moin,

> > zu i)
>  >  
> > wüsste leider spontan nicht, woran man das sehen sollte,
> > ob euklidisch oder nicht. Mein Bauchgefühl sagt
> > euklidisch, aber natürlich nicht sehr mathematisch^^
>
>  Der "Ring" ist euklidisch, aber eigentlich ist das hier
> eine Fangfrage.

eventuell muss man die genaue Definition von Euklidisch nachschauen. Es ist moeglich, dass dort der Fall eines Koerpers ausgeschlossen ist. Auch wenn's nicht ueblich ist :)

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
euklidisch oder faktoriell: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:33 Di 11.02.2014
Autor: derriemann

Ne, Körper haben wir nicht ausgeschlossen.......

Bezug
                
Bezug
euklidisch oder faktoriell: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Di 11.02.2014
Autor: derriemann

Hi,

warum ist denn i) eine Fangfrage? Spielst du darauf an, dass [mm] \IQ(\wurzel{-6}) [/mm] ein Körper ist?

Hm, meinst du bei ii) Lemma von Gauß - Polynomring eines faktoriellen Ringes ist faktoriell?

LG

Bezug
                        
Bezug
euklidisch oder faktoriell: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Di 11.02.2014
Autor: MaslanyFanclub

Ja und ja.

Bezug
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