euklidische Metrik < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei [mm] \IR [/mm] als metrischer Raum mit der euklidischen Metrik gewählt:
(a) Finden Sie ein unendliches System offener Mengen, dessen Durchschnitt nicht offen ist.
(b) Finden Sie ein unendliches System abgeschlossener Mengen, dessen Vereinigung nicht abgeschlossen ist. |
Hallo!
Oben genannte Aufgabe habe ich auf meinem neuen Übungsblatt. Da ich in der Vorlesung, in der wir das Thema metrische Räume angefangen haben, gefehlt habe, habe ich zurzeit so gut wie garkeine Idee, wie ich an die Aufgabe rangehen könnte.
Die euklidische Metrik ist doch als d(x,y)= [mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2} [/mm] definiert, oder?
Doch wie kann ich nun ein solches System, wie es in der Aufgabe gefragt ist, finden?
Ich weiß, dass M [mm] \subset [/mm] E offen heißt, wenn jedes Element von M innerer Punkt von M ist. Und x [mm] \in [/mm] M [mm] \subset [/mm] E heißt innerer Punkt, wenn gilt [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0: [mm] U_{\varepsilon} [/mm] (x) [mm] \subset [/mm] M.
Doch irgendwie bringt mich das alles nicht wirklich weiter...
Kann mir jemand weiterhelfen?
LG Isabelle
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 So 12.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Die euklidische Metrik ist doch als d(x,y)= $ [mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2} [/mm] $ definiert, oder?
Ja, wobei sich das in deinem Fall n=1 etwas einfacher schreiben lässt.
Ich geb dir mal folgenden Tipp für a.:
Versuch doch mal, eine Folge von immer kleiner werdenden offenen Intervalle zu konstruieren, bei denen ein Intervall immer in seinem Vorgänger enthalten ist, und bei denen es im Innern ein gemeinsames Intervall gibt. Zeige dann, dass dieses innere Intervall abgeschlossen ist.
b. geht "so ähnlich, nur umgekehrt".
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Ah ich sehe, es gilt n=1, weil [mm] \IR [/mm] metrischer Raum ist, was ja soviel bedeutet, wie [mm] \IR^1, [/mm] oder?
Ich weiß nicht, ob ich total auf dem Holzweg bin, aber könnte man nicht einfach je ein Beispiel geben, also z.B.
a) [mm] \bigcap_{i \in \IN} [/mm] (- [mm] \bruch{1}{i}, [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{i}) [/mm] = [0,1]
b) [mm] \bigcup_{i \in \IN} [/mm] [-1 + [mm] \bruch{1}{i}, [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{i}] [/mm] = (-1,1)
Wäre das eine mögliche korrekte Lösung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Di 14.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Isabelle!
> Ah ich sehe, es gilt n=1, weil [mm]\IR[/mm] metrischer Raum ist, was
> ja soviel bedeutet, wie [mm]\IR^1,[/mm] oder?
>
> Ich weiß nicht, ob ich total auf dem Holzweg bin, aber
> könnte man nicht einfach je ein Beispiel geben, also z.B.
> a) [mm]\bigcap_{i \in \IN} (- \bruch{1}{i}, 1 + \bruch{1}{i}) = [0,1][/mm]
> b) [mm]\bigcup_{i \in \IN} [-1 + \bruch{1}{i}, 1 - \bruch{1}{i}] = (-1,1)[/mm]
>
> Wäre das eine mögliche korrekte Lösung?
Genau!
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Hallo,
hmm ich habe die aufgabe schon vorher fertig gemacht und lese jetzt erst eure ideen:
also ich habe, das vorher aufgestellt:
Sei [mm] A_{b}, b\in [/mm] I ein überabzählbares System abgeschlossener Teilmengen von M und [mm] m\in [/mm] D [mm] :=\cap_{b\in I} A_{b} [/mm] ein Häufungspunkt in D.
Dann existiert eine Folge [mm] {m_{n}}\subset [/mm] D mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} m_{n}=m: [/mm] Dann ist aber auch [mm] {m_{n}}\subset A_{b} [/mm] für alle [mm] b\in [/mm] I und wegen der Abgeschlossenheit der [mm] A_{b} [/mm] ist auch [mm] m\in A_{b} [/mm] für alle [mm] b\in [/mm] I und damit auch m [mm] \in [/mm] D, also D eine abgeschlossene Menge.
Hmmm ich bin aber nicht sicher, ob das richtig ist, könnt ihr mir das sagen ansonsten versuche ich es noch mal ;)
Danke schönnn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mathelady,
> Hallo,
>
> hmm ich habe die aufgabe schon vorher fertig gemacht und
> lese jetzt erst eure ideen:
>
> also ich habe, das vorher aufgestellt:
da wird sich sicher mehr als eine Person fragen: Auf welche Aufgabe beziehst Du Dich?
> Sei [mm]A_{b}, b\in[/mm] I ein überabzählbares System
> abgeschlossener Teilmengen von M und [mm]m\in[/mm] D [mm]:=\cap_{b\in I} A_{b}[/mm]
> ein Häufungspunkt in D.
Okay. Die eine Aufgabe bestand daraus, zu zeigen, dass beliebige Vereinigungen abgeschlossener Mengen i.a. nicht abgeschlossen sind (bei endlich vielen ist das der Fall: Vereinigungen gebildet aus endlich vielen abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen), die andere daraus, zu zeigen, dass beliebige Schnitte offener Mengen i.a. nicht offen sind (auch das gilt für endlich viele: schneidet man endlich viele offene Mengen miteinander, so ist der Schnitt wieder offen - der Kern des Beweises besteht dabei aus der Tatsache, dass in einer endlichem Menge stets ein Minimum existiert).
Bevor ich mich frage, warum [mm] $I\,$ [/mm] eine überabzählbare Indexmenge ist (was aber egal ist: annehmen kannst Du es ja, wenn es zielführend wäre): Du bildest hier den Schnitt abgeschlossener Mengen? Beliebige Schnitte abgeschlossener Mengen sind stets abgeschlossen - das rührt daher, dass man festgestellt hatte, dass (in metrischen Räumen) beliebige Vereinigungen offener Mengen stets offen sind und die Komplemente offener Mengen gerade die abgeschlossenen sind. (Wenn Du mal nachschaust, was ein topologisches System ist und wie man die Elemente einer Topologie nennt, dann erkennst Du sicher einen Zusammenhang - btw.: auch den Begriff des Zusammenhangs gibt's bei topologischen Räumen, aber ich schweife ab...). Der Rest folgt dann mit de Morgan.
> Dann existiert eine Folge [mm]{m_{n}}\subset[/mm] D mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} m_{n}=m:[/mm] Dann ist aber auch
> [mm]{m_{n}}\subset A_{b}[/mm] für alle [mm]b\in[/mm]
Wenn ich mir den Quelltext angucke, sollte das sicher [mm] $\{m_n\} \subset A_b$ [/mm] heißen. Die Mengenklammern schreibst Du so [mm] [nomm]$\{\}$[/nomm].
[/mm]
> I und wegen der
> Abgeschlossenheit der [mm]A_{b}[/mm] ist auch [mm]m\in A_{b}[/mm] für alle
> [mm]b\in[/mm] I und damit auch m [mm]\in[/mm] D, also D eine abgeschlossene
> Menge.
>
> Hmmm ich bin aber nicht sicher, ob das richtig ist, könnt
> ihr mir das sagen ansonsten versuche ich es noch mal ;)
Ich glaube, Du bist an der Aufgabenstellung vorbeigerauscht? Übrigens wirst Du nicht allgemein beweisen können, dass beliebige Vereinigungen abgeschlossener Mengen nicht abgeschlossen sind - denn es gibt ja durchaus den Fall, dass die Vereinigung was abgeschlossenes liefert:
Z.B. ist für jedes $0 [mm] \le \epsilon \le [/mm] 1$ jede Menge [mm] $I_\epsilon:=[\epsilon,2-\epsilon]$ [/mm] abgeschlossen und die Vereinigung [mm] $\bigcup_{0 \le \epsilon \le 1} I_\epsilon$ [/mm] ist gerade [mm] $[0,2]\,,$ [/mm] also auch abgeschlossen.
(Bei diesem einfachen Bsp. sind offenbar auch alle Mengen [mm] $I_\epsilon$ [/mm] in [mm] $I_0=[0,2]$ [/mm] enthalten...)
Beim zweiten Teil der Aufgabe ist also nicht zu zeigen, dass beliebige Vereinigungen abgeschlossener Mengen niemals abgehschlossen sind (denn das ist nicht beweisbar) - sondern, dass beliebige Vereinigungen abgeschlossener Mengen i.a. nicht abgeschlossen sind.
Das bedeutet, man soll die Behauptung, dass beliebige Vereinigungen abgeschlossener Mengen stets abgeschlossen seien, (mit einem Gegenbeispiel) widerlegen.
(Was man schon weiß, wenn man ein solches Bsp. sucht: Das Mengensystem muss dann mehr als endlich viele Mengen enthalten, denn endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind stets abgeschlossen. Wenn Du in obiges Beispiel guckst, so erkennst Du aber, dass die Indexmenge nicht überabzählbar sein muss - es aber auch sein kann. Anstatt den [mm] $1/i\,$ [/mm] mit $i [mm] \in \IN$ [/mm] kann man dort auch [mm] $\varepsilon \in \IQ \cap [/mm] I$ mit einem gewissen Intervall [mm] $I=I_\epsilon=]0,\epsilon[$ [/mm] schreiben, auch das bleibt dann ein abzählbares System, weil [mm] $\IQ$ [/mm] und damit auch jede Teilmenge von [mm] $\IQ$ [/mm] (endlich- oder) abzählbar ist; und wenn man [mm] $I_\epsilon=]0,\epsilon[$ [/mm] nur als Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] betrachtet, so hat man ein System von überabzählbar vielen Mengen (beachte: nicht die Mengen sind überabzählbar, sondern die Indexmenge, mit der die Elemente des Systems iniziert ist, ist überabz.)).
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
|
