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| Aufgabe | | Sei A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 }, [/mm] und sei [mm] f_A [/mm] : [mm] \IR^4 \to \IR^2 [/mm] die zugehörige lineare Abbildung. Geben Sie eine Orthonormalbasis von Ker [mm] f_A [/mm] (bezüglich des Standardskalarprodukts auf [mm] \IR^4 [/mm] ) an. |
Also ich habe Ker f ausgerechnet:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] -x_3 [/mm] - [mm] x_4
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] -2x_3 [/mm] - [mm] 3x_4
[/mm]
Wie soll ich jetzt die Orthonormalbasis davon angeben?
Und was ist mit dem Standardskalarprodukt auf [mm] \IR^4 [/mm] gemeint?
Soll ich das Skalarprodukt von den Vektoren ( 1,2,3,4) und (5,6,7,8) ausrechen? Und was soll ich dann machen?
Bitte helfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 So 12.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Also ich habe Ker f ausgerechnet:
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]-x_3[/mm] - [mm]x_4[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = [mm]-2x_3[/mm] - [mm]3x_4[/mm]
ich habe das nicht überprüft, aber setze jetzt doch mal [mm] $x_3=s$ [/mm] und [mm] $x_4=t$
[/mm]
dann beschreibt das Gleichungssystem also den Vektor : [mm] $\vektor{-s-t\\-2*s-3*t\\s\\t}$
[/mm]
das ist aber dasselbe wie:
[mm] $\left\{ s*\vektor{-1\\-2\\1\\0}+t*\vektor{-1\\3\\0\\1} |s,t \in \IR \right\} [/mm] = [mm] \left < \vektor{-1\\-2\\1\\0},\vektor{-1\\3\\0\\1} \right [/mm] >$
diese Vektoren sind zwar unabhängig, bilden also schon eine Basis, aber sie sind noch nicht orthonormal - also musst noch Gram-Schmidt anwenden oder ein Verfahren, was ihr schon kennen gelernt habt.
(und bei Gram-schmidt ist ja immer auch von einem Skalarprodukt die rede, denn orthogonal wird ja über das Skalarprodukt definiert - und du sollst hier halt das stink normale Skalarprodukt verwenden.)
Was weißt du denn dazu?versuchst du es mal?
viele Grüße
DaMenge
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Kannst du mir vielleich sagen wie ich dass Gram-Schmitt verfahren hier anwenden kann?
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diesem Algorithmus.
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