euklidischer Ring < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 So 05.02.2006 | | Autor: | jennyf |
| Aufgabe | Es sei R ein euklidischer Ring mit Einselement, dessen Gradfunktion g: [mm] R\setminus \{0\} \to \IN [/mm] multiplikativ, d.h.
g (ab) = g(a) g(b) für alle a, b [mm] \in R\setminus \{0\}
[/mm]
Zz.: c [mm] \in [/mm] R^* genau dann, wenn g(c) = 1 |
"=>"
Sei c [mm] \in [/mm] R^* beliebig, d.h c teilt 1 [mm] \gdw [/mm] cb teilt b, b [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] cb~b
=> g(cb)= g(b) (wegen Assoziiertheit ~)
=> g(cb)= g(b)= g(c) g(b) => g(c)= 1
"<="
Sei g(c)= 1 => g(b)= g(b) g(c)= g(bc) => b= bc => b~bc => c [mm] \in [/mm] R^*
Bei dem Hinweg bin ich mir eigentlich ziemlich sicher, weiß aber nicht, ob der Rüchweg richtig ist, denn assoziiert setzt bereits vorraus, dass c [mm] \in [/mm] R^*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 So 05.02.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo jennyf
Irgendwo in deinem Beweis musst du doch die Eigenschaften eines euklidischen Ringes verwenden. Ich sehe nicht wo du das verwendest. Wenn dein Beweis richtig wäre, bräuchtest du nur die angegebene Eigenschaft der Gradfunktion.
mfG Moudi
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 22:14 Di 07.02.2006 | | Autor: | jennyf |
Hallo!
HAb jetzt schon ein paar Mal wieder über die Aufgabe nachgedacht...
Ich komme leider nicht weiter... Von einem euklidischen Ring weiß ich, dass ich, wenn ich zwei Elemente [mm] a,b\inR [/mm] schreiben kann als a=bq+r wobei [mm] b\not=0 [/mm] und [mm] q,r\in [/mm] R
KAnn ich das dann bei der Aufgabe anwenden?
Weiß nur leider nicht genau wie?
KAnn mir vielleicht nochmal jemand helfen, bzw einen Tipp geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:26 Fr 10.02.2006 | | Autor: | matux |
Hallo jennyf!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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hallo und guten Morgen,
ok, bei [mm] (\Rightarrow [/mm] ) benutzt Du also die Eigenschaft von Eukl. Ringen, dass
assoziierte Elemente a,b (also solche, fuer die es [mm] c\in R^{\star} [/mm] gibt mit a=bc)
gleich bewertet werden: g(a)=g(b).
Nun sei also umgekehrt g(c)=1, zu zeigen: [mm] c\in R^{\star}.
[/mm]
Sei x=1 und y=c, dann gibt es q,r mit
x=qc+r und (r=0 oder g(r)<g(c)), wobei aber [mm] r\neq [/mm] 0 nicht sein kann,
da dann ja 0<g(r)<g(c)=1 gelten muesste - was nicht geht.
Also r=0, und das heisst doch nichts anderes, als dass c eine Einheit ist.
Vielleicht sollte man noch - falls Ihr das nicht schon hattet-
zeigen, dass algemein in einem Eukl. Ring assoziierte Elemente gleiche Bewertung haben.
Viele Gruesse,
Mathias
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