euklidischer Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mo 12.01.2009 | | Autor: | winni87 |
| Aufgabe | Im [mm] \IR² [/mm] betrachte man die Bilinearform
[mm] \beta(X,Y) [/mm] := [mm] x_{1}y_{1} [/mm] - [mm] x_{1}y_{2} [/mm] - [mm] x_{2}y_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2}y_{2}
[/mm]
i) Zeigen Sie, dass [mm] (\IR², \beta) [/mm] ein euklidischer Vektorraum V ist
ii) Berechnen Sie ||(4,2)|| |
Hallo,
um zu Zeigen, dass es sich hier um einen euklidischen Vektorraum V handelt muss ich die Axiome Linearität, Homogenität, Symmetrie und die positivie Definitheit zeigen.
Allerdings verstehe ich nicht was [mm] (\IR², \beta) [/mm] ausdrücken soll?!
|
|
| |
|
> Im [mm]\IR²[/mm] betrachte man die Bilinearform
>
> [mm] $\beta(X,Y):=x_{1}y_{1} [/mm] - [mm] x_{1}y_{2}- x_{2}y_{1}+ 3x_{2}y_{2}$
[/mm]
>
> i) Zeigen Sie, dass [mm](\IR², \beta)[/mm] ein euklidischer
> Vektorraum V ist
> ii) Berechnen Sie ||(4,2)||
> Hallo,
>
> um zu Zeigen, dass es sich hier um einen euklidischen
> Vektorraum V handelt muss ich die Axiome Linearität,
> Homogenität, Symmetrie und die positivie Definitheit
> zeigen.
> Allerdings verstehe ich nicht was [mm](\IR², \beta)[/mm] ausdrücken
> soll?!
Es ist der gewohnte 2-dimensionale Raum, aber mit
einer anderen Metrik, welche durch die Bilinearform
[mm] \beta [/mm] bestimmt wird. Diese tritt an die Stelle des
gewohnten Skalarproduktes. Dieses ist auch eine
Bilinearform:
$\ X*Y\ =\ [mm] \sigma(X,Y):=x_{1}\,y_{1} [/mm] + [mm] x_{2}\,y_{2}$
[/mm]
Aus dem Skalarprodukt ergibt sich auch der Betrag
eines Vektors:
$\ [mm] |X|\,=\,\wurzel{X*X}\ [/mm] =\ [mm] \wurzel{{x_{1}}^2+ {x_{2}}^2}$
[/mm]
Analog ist nun die Norm eines Vektors im Raum [mm](\IR², \beta)[/mm] :
$\ [mm] ||X||\,=\,\wurzel{\beta(X,X)}\ [/mm] =\ [mm] \wurzel{x_{1}x_{1} - x_{1}x_{2}- x_{2}x_{1}+ 3x_{2}x_{2}}=\ \wurzel{{x_{1}}^2 - 2\,x_{1}\,x_{2}+ 3\,{x_{2}}^2}$
[/mm]
|
|
|
|
