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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 09:39 Do 23.12.2004 | | Autor: | Carina |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
in dieser Aufgabe soll schrittweise [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+r/n)hochn [/mm] = e hoch r für r Element [mm] \IQ [/mm] gezeigt werden:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1*k/n) hoch n = e hoch k für k Element [mm] \IN [/mm] ( hinweis: Vollständige Induktion!!!)
B) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1- 1/n) hoch n = 1/e (HInweis Zeigen sie zunächst : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1- [/mm] 1/nhoch 2)hoch n =1)
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+ [/mm] q/n) hoch n= e hoch q für q element [mm] \IQ
[/mm]
d) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1+ r/n) hoch n = e hoch r für r element
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Do 23.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Carina,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> in dieser Aufgabe soll schrittweise
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+r/n)hochn[/mm] = e hoch r für r
> Element [mm]\IQ[/mm] gezeigt werden:
Soll das vielleicht $r [mm] \in \IR$ [/mm] am Ende heißen?
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1*k/n) hoch n = e hoch k
> für k Element [mm]\IN[/mm] ( hinweis: Vollständige Induktion!!!)
Da sollte wohl [m]\limes_{n \to \infty}\left(1\red{+}\frac{k}{n}\right)^{n}[/m] stehen. Ich nehme an, dir ist bekannt, dass [m]\limes_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e^1[/m] gilt.
Wenn du den Hinweis nicht wirklich verstehst, dann etwas deutlicher:
Induktion über $k$.
[ Nachtrag:Hm, okay, ich denke, das ist vielleicht doch ein bisschen wenig und irgendwie finde ich den Tipp mittlerweile komisch; oder ich habe gerade Tomaten auf den Augen ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") . Naja...
Mach es vielleicht so:
Zeige: Für jedes beliebige, aber feste $k [mm] \in \IN$ [/mm] ist die Folge [mm] $\left(\left(1+\frac{k}{n}\right)^n\right)_{n \in \IN}$ [/mm] monoton wachsend und nach oben beschränkt. Daraus folgt dann die Konvergenz dieser Folge für jedes $k [mm] \in \IN$.
[/mm]
Dann gilt für beliebiges, aber festes $k [mm] \in \IN$:
[/mm]
[m]\limes_{n \to \infty}\left(1+\frac{k}{n}\right)^{n}[/m]
[m]\stackrel{betrachte\;Teilfolge\;(n_j)_{j \in \IN}\;von\;(n)_{n \in \IN}\;mit\;n_j:=j\cdot{}k}{=} \limes_{j \to \infty}\left(1+\frac{k}{n_j}\right)^{n_j}[/m]
[m]= \limes_{j \to \infty}\left(1+\frac{k}{j\cdot{}k}\right)^{j\cdot{}k} [/m]
[m]= \left[\limes_{j \to \infty}\left(1+\frac{1}{j}\right)^{j}\right]^k[/m]
[m]= e^k[/m]
]
> B) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1- 1/n) hoch n = 1/e
> (HInweis Zeigen sie zunächst :
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-[/mm] 1/nhoch 2)hoch n =1)
Zu dem Hinweis:
Siehe diesen Thread ([m]\leftarrow[/m] click it!  ).
So, jetzt bist erst mal du an der Reihe! Vielleicht wird deine Frage dann ja auch wieder als Frage für Hilfsbereite deklariert, wenn Bemühungen erkennbar sind.
Viele Grüße,
Marcel
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