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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Do 16.11.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Lösung folgender DGL:
( [mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] )dx+2xydy=0 |
Hallo zusammen,
beschäftige mich das erste Mal mit exakten DGLs. Bis zu einem gewissen Punkt klappt alles auch ganz gut, aber dann weiß ich nicht weiter. Ich zeig euch einfach mal meinen Lösungsweg.
sei g(x,y)= [mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] und h(x,y)=2xy
[mm] \bruch{ \partial g}{ \partial y}=-2y \not= [/mm] 2y= [mm] \bruch{ \partial h}{ \partial x}
[/mm]
Gesucht ist also zunächst ein integrativer Multiplikator ... zB
[mm] \bruch{1}{ x^{2}}
[/mm]
Dann erhält man: g*(x,y)=1- [mm] \bruch{ y^{2}}{ x^{2}} [/mm] und h*(x,y)= [mm] \bruch{2y}{x} [/mm] mit [mm] \bruch{ \partial g*}{ \partial y}= \bruch{ \partial h*}{ \partial x}
[/mm]
nach VL: [mm] \bruch{ \partial F}{ \partial y}=h*(x,y) \Rightarrow [/mm] F(x,y)= [mm] \bruch{ y^{2}}{x}+ \delta [/mm] (x)
nach VL: [mm] \bruch{ \partial F}{ \partial x}=g*(x,y) \Rightarrow [/mm] - [mm] \bruch{ y^{2}}{ x^{2}}+\delta [/mm] '(x)=1- [mm] \bruch{ y^{2}}{ x^{2}} \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow \delta [/mm] (x)=x+c (c [mm] \in \IR [/mm] )
Und hier komme ich nicht mehr weiter. Was genau ist mein [mm] \delta(x) [/mm] und was genau wird meine Lösung der DGL sein. Wie überprüft man dann, ob eine entsprechende Lösung stimmt?
Das Einzige was ich bisher gerafft hab, ist der "mechanische" Ablauf bis zu gezeigtem Punkt und, dass irgendwelche Zwischenergebnisse die Lösungen der "Teil-DGLs" g und h sind!? Aber irgendwie weiß ich auch nicht mehr welche Zwischenergebnisse.
Also wer hilft mir?
Danke schon mal,lg ... patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Do 16.11.2006 | | Autor: | Janyary |
bitte editier nochmal deinen text, das ist so echt nicht lesbar
lg jany
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:39 Fr 17.11.2006 | | Autor: | oeli1985 |
Sorry, wollte ausprobieren, wie mans hinbekommt, dass manche Zahlen o.ä. nicht immer in einer "anderen Schrift" da stehen und dann musst ich plötzlich weg und konnt es nicht mehr kontrollieren.
Jetzt müsste man es aber lesen können.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Janyary |
hallihallo,
also deine urspruengliche gleichung war ja:
[mm] (x^{2}+y^{2})dx+2*x*ydy=0
[/mm]
da hast du ganz richtig festgestellt, dass diese nicht exakt ist.
den richtigen multiplikator hast du auch schon gefunden mit [mm] M=\bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
jetzt musst du einfach mit deiner neuen dgl, die ja nun exakt ist weiterarbeiten.
also hast du nun:
[mm] \underbrace{(1-\bruch{y^{2}}{x^{2}})}_{g(x)}dx+\underbrace{\bruch{2y}{x}}_{h(x)}dy=0
[/mm]
jetzt musst du g(x) nach x integrieren. das ergibt:
[mm] G(x)=x+\bruch{y^{2}}{x}+\delta(y)
[/mm]
diese funktion nun nach y ableiten
[mm] G_{y}(x)=\bruch{2}{x}*y+\delta'(y)=h(x)=\bruch{2y}{x} [/mm] sein muss.
wenn du das ganze nach [mm] \delta'(y) [/mm] umstellst, ergibt sich
[mm] \delta'(y)=0
[/mm]
[mm] \delta(y)=c=konst.
[/mm]
jetzt hast du alles bestimmt und kannst es in deine gleichung G(x) einsetzen (ich nenn das jetzt F(x))
[mm] F(x,y)=x+\bruch{y^{2}}{x}+c
[/mm]
so ich hoffe, ich hab mich nicht verrechnet und das hat dir bissel zum verstaendnis geholfen.
LG Jany
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Fr 17.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
die DGL kann umgeschrieben werden in eine DGL
[mm] u'(x)=-\br{u^2+1}{2ux} [/mm] mit [mm] u=\br{y}{x} [/mm] (s. homogene DGL'en)
Nun ist es eine DGL mit getrennten Variablen deren Lösung ist
[mm] u^2(x)=\br{K}{x}-1
[/mm]
also [mm] y=\wurzel{Kx-x^2}
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Mamahai |
Hallo :)
Wie komme ich auf den integrierenden Faktor [mm] \bruch {1}{x^{2}} [/mm] ? Errate ich den oder kann ich den irgendwie ausrechnen? Da komme ich nämlich irgendwie nie weiter...
Danke im Voraus, lg Jessica
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Sa 18.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
eigentlich muss man den erraten, allerdings kann man ihn schnell erraten, wenn man an die spätere Substituion [mm] u=\br{y}{x} [/mm] denkt, und u die einzige verbleibende Variable in der DGL sein soll.
mfg ullim
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Hallo nochmal,
man muss den integrativen Multiplikator nicht unbedingt raten.
Es gilt:
sei [mm] g_{y} [/mm] die Ableitung von g(x,y) nach der Variablen y und entsprechendes gilt für [mm] h_{x}
[/mm]
sei nun M der unbekannte integrative Multiplikator in Abhängigkeit von x
[mm] \bruch{ g_{y} - h_{x} }{h}= [/mm] (ln|M(x)|)'
sei M abhängig von y
[mm] \bruch{ h_{x} - g_{y} }{g}= [/mm] (ln|M(y)|)'
Anhand einer dieser beiden Formel kann man also durch Integration und Anwenden der e-Funktion den integrativen Multiplikator errechnen.
Grüße, Patrick
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