exakte abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine Sequenz
[mm] V_{n} \to V_{n-1} \to [/mm] . . . [mm] \to V_{1} \to V_{0} [/mm] , [mm] f_{i} [/mm] : [mm] V_{i} \to V_{i-1} [/mm] , i=1,2,...,n-1,n
von K-Vektorräumen [mm] V_{i} [/mm] und linearen Abbildungen [mm] f_{i} [/mm] heißt exakt, wenn Ker [mm] f_{i} [/mm] = Im [mm] f_{i+1} [/mm] für i = 1, . . . , n − 1. Zeigen Sie: Ist
0 [mm] \to W_{m} \to W_{m-1} \to [/mm] ... [mm] \to W_{1} \to W_{0} \to [/mm] 0 , [mm] g_{i} [/mm] : [mm] W_{i} \to W_{i-1} [/mm] ,i=1,2,....,m-1,m meine exakte Sequenz endlichdimensionaler K-Vektorräume (0 bezeichnet darinden Nullvektorraum), so gilt:
[mm] \summe_{i=0}^{m} (-1)^{i}*dim W_{i}=0
[/mm]
in der aufgabe stehen die abbildungen immer über den pfeilen, aber das bekomme cih hier nicht hin ... das heißt 0 /to [mm] W_{m} [/mm] und [mm] W_{0} \to [/mm] 0 hat keine abbildungen über den pfeilen .. ich hoffe ihr versteht, wie ich das meine |
die summe verkürzt sich ja schön nach dim [mm] W_{i}=dim [/mm] ker [mm] f_{i} [/mm] + dim im [mm] f_{i}
[/mm]
dim [mm] W_{0} +(-1)^{m}*dim [/mm] ker [mm] f_{m}=0 [/mm] , und cih nehme mal an, die beiden sumanden sind jeweils null, nur weiß ich nciht so genau, warum ... kann mir da vielelciht jemand einen tip geben?danke
adrian
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Do 22.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Adrian
> Eine Sequenz
> [mm]V_{n} \to V_{n-1} \to[/mm] . . . [mm]\to V_{1} \to V_{0}[/mm] , [mm]f_{i}[/mm] :
> [mm]V_{i} \to V_{i-1}[/mm] , i=1,2,...,n-1,n
> von K-Vektorräumen [mm]V_{i}[/mm] und linearen Abbildungen [mm]f_{i}[/mm]
> heißt exakt, wenn Ker [mm]f_{i}[/mm] = Im [mm]f_{i+1}[/mm] für i = 1, . . . ,
> n − 1. Zeigen Sie: Ist
> 0 [mm]\to W_{m} \to W_{m-1} \to[/mm] ... [mm]\to W_{1} \to W_{0} \to[/mm] 0
> , [mm]g_{i}[/mm] : [mm]W_{i} \to W_{i-1}[/mm] ,i=1,2,....,m-1,m meine exakte
> Sequenz endlichdimensionaler K-Vektorräume (0 bezeichnet
> darinden Nullvektorraum), so gilt:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{m} (-1)^{i}*dim W_{i}=0[/mm]
>
> in der aufgabe stehen die abbildungen immer über den
> pfeilen, aber das bekomme cih hier nicht hin ... das heißt
> 0 /to [mm]W_{m}[/mm] und [mm]W_{0} \to[/mm] 0 hat keine abbildungen über den
> pfeilen .. ich hoffe ihr versteht, wie ich das meine
>
> die summe verkürzt sich ja schön nach dim [mm]W_{i}=dim[/mm] ker
> [mm]f_{i}[/mm] + dim im [mm]f_{i}[/mm]
Genau.
> dim [mm]W_{0} +(-1)^{m}*dim[/mm] ker [mm]f_{m}=0[/mm] , und cih nehme mal an,
> die beiden sumanden sind jeweils null, nur weiß ich nciht
> so genau, warum ... kann mir da vielelciht jemand einen tip
> geben?danke
Die Abbildung [mm] $f_m$ [/mm] ist injektiv, da $0 [mm] \to W_m \overset{f_m}{\to} W_{m-1}$ [/mm] exakt ist (was gerade bedeutet, dass das Bild der Nullabbildung $0 [mm] \to W_m$ [/mm] der Kern von [mm] $f_m$ [/mm] ist, womit der Kern von [mm] $f_m$ [/mm] trivial ist).
Allerdings ist [mm] $\dim W_0$ [/mm] im Allgemeinen nicht 0. Du hast dich da wohl irgendwo verrechnet bzw. du hast zuviel/zuwenig weggekuerzt. Ein [mm] $\dim W_0$ [/mm] alleine duerfte auch nicht uebrigbleiben, sondern etwas der Form $ker [mm] f_i$ [/mm] oder $im [mm] f_i$. [/mm] (Ansonsten: wo ist das $Ker [mm] f_1 [/mm] = Im [mm] f_0$ [/mm] geblieben? Dessen Dimension ist naemlich gerade [mm] $\dim W_0$, [/mm] womit die beiden sich aufheben.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
ah ja, ok, alles klar, wenn ich eine abbildung von [mm] W_{0} [/mm] nach 0 betrachte, hat die natürlich den kern [mm] W_{0} [/mm] ,also das bild von [mm] f_{1} [/mm] ... und wie du scho nsagtest, ist ,der kern von [mm] f_{m} [/mm] ist trivial ... also ,vielen dank , damit wäre das ganze gelöst. danke.
|
|
|
|
