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Hallo,
ich habe gerade ein kleines Verständnisproblem bzgl. der exp-Funktion: exp: [mm] \IC\rightarrow\IC,x\mapsto [/mm] exp(x) - bzw. die kann ich ja auch schreiben als exp: [mm] \IR^2\rightarrow\IC, (x,y)\mapsto x\cdot [/mm] exp(iy). Bzw. auf dem Einheitskreis ist das einfach: [mm] \IR\rightarrow\IC, x\mapsto [/mm] exp(ix).
Diese Funktion ist periodisch. Und sie ist auch immer noch periodisch, wenn ich exp(ikx) betrachte, für ein [mm] k\in\IR
[/mm]
Mein Problem habe ich nun, wenn ich für x einen Vektor habe, also: exp(ix) für [mm] x\in\IR^n. [/mm] Zum einen weiß ich gar nicht, was da raus kommt - noch nicht einmal, in welcher Menge das liegt - und zum anderen würde ich gerne wissen, ob die Funktion immer noch periodisch ist.
Außerdem betrachte ich exp(ikx) für [mm] x\in\IR^n [/mm] und [mm] k\in(\IR^n)' [/mm] (so ist zumindest die Schreibweise, was genau dieses Apostroph zu bedeuten hat, weiß ich nicht). Was ist das denn genau?
Ich glaube, ich stehe gerade einfach nur tierisch auf dem Schlauch und brauch bloß einen kleinen Denkanstoß. Danke 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:02 Mi 12.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo,
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> ich habe gerade ein kleines Verständnisproblem bzgl. der
> exp-Funktion: exp: [mm]\IC\rightarrow\IC,x\mapsto[/mm] exp(x) - bzw.
> die kann ich ja auch schreiben als exp:
> [mm]\IR^2\rightarrow\IC, (x,y)\mapsto x\cdot[/mm] exp(iy). Bzw. auf
Du meinst $(x, y) [mm] \mapsto \exp(x) \exp(i [/mm] y)$.
> dem Einheitskreis ist das einfach: [mm]\IR\rightarrow\IC, x\mapsto[/mm]
> exp(ix).
> Diese Funktion ist periodisch. Und sie ist auch immer noch
> periodisch, wenn ich exp(ikx) betrachte, für ein [mm]k\in\IR[/mm]
Genau.
> Mein Problem habe ich nun, wenn ich für x einen Vektor
> habe, also: exp(ix) für [mm]x\in\IR^n.[/mm] Zum einen weiß ich gar
> nicht, was da raus kommt - noch nicht einmal, in welcher
> Menge das liegt - und zum anderen würde ich gerne wissen,
> ob die Funktion immer noch periodisch ist.
Was da raus kommen soll ist eine gute Frage. Das macht naemlich so erstmal keinen Sinn. Eine moegliche Interpretation ist, dass [mm] $\exp$ [/mm] komponentenweise angewendet wird. D.h. der Vektor [mm] $(x_1, \dots, x_n)^T$ [/mm] wird abgebildet auf [mm] $(\exp(i x_1), \dots, \exp(i x_n))$.
[/mm]
In dem Fall ist es ebenfalls periodisch, da fuer jeden Vektor $k [mm] \in \IZ^n$ [/mm] gilt [mm] $\exp(i [/mm] x + 2 [mm] \pi [/mm] i k) = [mm] \exp(i [/mm] x)$.
> Außerdem betrachte ich exp(ikx) für [mm]x\in\IR^n[/mm] und
> [mm]k\in(\IR^n)'[/mm] (so ist zumindest die Schreibweise, was genau
> dieses Apostroph zu bedeuten hat, weiß ich nicht). Was ist
> das denn genau?
Das macht schon mehr Sinn.
Der Apostroph bedeutet vermutlich, dass hier Zeilen- anstelle Spaltenvektoren verwendet werden. Ist $k$ ein Spaltenvektor und $x$ ein Zeilenvektor, so ist $k x$ eine reelle Zahl: ist $k = [mm] (k_1, \dots, k_n)$ [/mm] und $x = [mm] (x_1, \dots, x_n)^T$, [/mm] so ist $k x = [mm] \sum_{i=1}^n k_i x_i$.
[/mm]
Die Funktion ist dann ebenfalls periodisch, und zwar nimmst du enien $n - 1$-dimensionalen Untervektorraum $U$ (dessen Basis du konkret angeben kannst: es ist die Menge aller $x$ mit $k x = 0$, also der Orthogonalraum von $Spann(k)$), und einen Vektor $u$ mit $k u = 2 [mm] \pi$. [/mm] Dann ist die Menge der Perioden gerade [mm] $\bigcup_{z \in \IZ} [/mm] (z u + U)$.
LG Felix
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> > Außerdem betrachte ich exp(ikx) für [mm]x\in\IR^n[/mm] und
> > [mm]k\in(\IR^n)'[/mm] (so ist zumindest die Schreibweise, was genau
> > dieses Apostroph zu bedeuten hat, weiß ich nicht). Was ist
> > das denn genau?
>
> Das macht schon mehr Sinn.
>
> Der Apostroph bedeutet vermutlich, dass hier Zeilen-
> anstelle Spaltenvektoren verwendet werden. Ist [mm]k[/mm] ein
> Spaltenvektor und [mm]x[/mm] ein Zeilenvektor, so ist [mm]k x[/mm] eine
> reelle Zahl: ist [mm]k = (k_1, \dots, k_n)[/mm] und [mm]x = (x_1, \dots, x_n)^T[/mm],
> so ist [mm]k x = \sum_{i=1}^n k_i x_i[/mm].
>
Danke für deine Antwort.
Inzwischen habe ich herausgefunden, dass da tatsächlich der Zeilenvektor gemeint ist.
> Die Funktion ist dann ebenfalls periodisch, und zwar nimmst
> du enien [mm]n - 1[/mm]-dimensionalen Untervektorraum [mm]U[/mm] (dessen
> Basis du konkret angeben kannst: es ist die Menge aller [mm]x[/mm]
> mit [mm]k x = 0[/mm], also der Orthogonalraum von [mm]Spann(k)[/mm]), und
> einen Vektor [mm]u[/mm] mit [mm]k u = 2 \pi[/mm]. Dann ist die Menge der
> Perioden gerade [mm]\bigcup_{z \in \IZ} (z u + U)[/mm].
>
Wie kommst du denn auf diese Konstruktion? Ehrlich gesagt, verstehe ich da dran gar nichts... warum denn einen (n-1)-dimensionalen Unterraum und nicht n-dimensional? Denn eigentlich müsste meine Funktion doch in n Raumdimensionen periodisch sein.
Außerdem verstehe ich nicht, wozu ich den Vektor u mit [mm] ku=2\pi [/mm] brauche. Und auch die Vereinigungsmenge am Ende ist mir ein Rätsel.
Kannst du da bitte noch ne Kurze Erläuterung dazu schreiben?
Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 04.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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