exp Gruppenhomomorphismus < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wir wissen schon, dass exp ein differenzierbarer Gruppenhomorphismus von [mm] (\IR,+) [/mm] nach [mm] ((0,\infty),*) [/mm] ist. Zeigen Sie, dass auch die Umkehrung gilt:
Ist [mm] f:\IR\to\IR [/mm] ein diffbare Abbildung mit f(0)=f'(0)=1, so dass stets f(x+y)=f(x)f(y) gilt, so ist f=exp. |
Hey Leute,
und noch eine Frage zur e-Funktion. Mir fehlt da jeglicher Ansatz. Wann ist denn eine Funktion exp. Muss man da die Reihendarstellung irgendwie anwenden oder was anderes machen? Kann mir bitte jmd. helfen?
Viele Grüße
Daniel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
geh erstmal am besten Schrittweise vor. Zeige zunächst:
Sei f stetig und es gelte deine Funktionalgleichung. Dann gilt [mm] f(x)=a^{x} [/mm] mit a=f(1).
Mit den Anfangsbedingungen berechnest du dann a=e.
Die erste Aussage beweist du indem du sie zuerst für natürliche x, dann für ganzzahlige, später für rationale x beweist. Wegen der Stetigkeit folgt die Behauptung dann auch für reelle x. Dabei musst du immer die Funktionalgleichung verwenden.
Das kleiner Denkansatz.
Wenn das nicht reicht melde dich nochmal.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
| |
|
Hallo Hund,
vielen Dank für deine Antwort.
> Hallo,
>
> geh erstmal am besten Schrittweise vor. Zeige zunächst:
> Sei f stetig und es gelte deine Funktionalgleichung. Dann
> gilt [mm]f(x)=a^{x}[/mm] mit a=f(1).
> Mit den Anfangsbedingungen berechnest du dann a=e.
Das ist mir klar. Das muss folgen, weil für bel. a nicht f'(0)=1 gilt. Das gilt nur für e. Was meinst du übrigens mit Funktionalgleichung, [mm] e^{x}??? [/mm]
>
> Die erste Aussage beweist du indem du sie zuerst für
> natürliche x, dann für ganzzahlige, später für rationale x
> beweist. Wegen der Stetigkeit folgt die Behauptung dann
> auch für reelle x. Dabei musst du immer die
> Funktionalgleichung verwenden.
> Das kleiner Denkansatz.
> Wenn das nicht reicht melde dich nochmal.
Das ist mir nicht so klar. Was meinst du denn mit erste Aussage? Es gibt doch nur eine Aussage und zwei Voraussetzungen. Was soll ich denn zuerst für natürliche usw beiweisen? Wo nutzt man denn dieses f(x+y)=f(x)f(y) aus? Mir ist nicht so recht klar, was ich überhauot zeigen muss. Wäre toll, wenn du mir noch mal hilfst. Danke, Daniel
>
> Ich hoffe, es hat dir geholfen.
>
> Gruß
> Hund
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also wir zeigen zunächst: Sei f stetig und f(x+y)=f(x)f(y) (das ist die Funktionalgleichung), dann gilt [mm] f(x)=a^{x} [/mm] mit f(1)=a.
Sei zunächst x natürlich,dann gilt:
f(x)=f(x*1)=f(1+...+1) (x einsen)
=f(1)*...*f(1) x mal nach Vor.
[mm] =f(1)^{x}
[/mm]
[mm] =a^{x}
[/mm]
Weiter gilt 1=f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x), also [mm] f(-x)=\bruch{1}{f(x)}.
[/mm]
Für natürliche x haben wir gezeigt:
[mm] f(x)=a^{x}, [/mm] also:
[mm] f(-x)=\bruch{1}{f(x)}=\bruch{1}{a^{x}}=a^{-x}
[/mm]
Für x=0 gilt [mm] f(0)=1=a^{0}.
[/mm]
Also ist die obere Behauptung auch für ganzzahlige x gezeigt.
Nun zeigen wir sie für rationale x. Da x rational ist gilt x=p/q mit ganzzahligen p und q>0.
Also:f(x)=f(p/q) wegen f(-x)=1/f(x) können wir p als natürlich setzten
=f(1/q+...+1/q) p mal
=f(1/q)*...*f(1/q) p mal
[mm] =f(1/q)^{p}
[/mm]
Zu zeigen bleibt: [mm] f(1/q)=a^{1/q}
[/mm]
Wir potenzieren mit q: [mm] f(1/q)^{q}=(a^{1/q})^{q},
[/mm]
also:f(1/q+...+1/q (q mal))=a,
also:f(1)=a, was wir ja vorrausgesetzt haben. Also ist die Behauptung auch rationale x gezeigt.
Nun sei x reell. Dann gibt es eine rationale Folge [mm] x_{n}, [/mm] die gegen x konvergiert,also folgt wegen der Stetigkeit von f:
[mm] f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} a^{x_{n}} [/mm] da [mm] x_{n} [/mm] rational
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} exp(x_{n} [/mm] log(a))
=exp (log(a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}), [/mm] da exp stetig
=exp(x [mm] log(a))=a^{x}
[/mm]
Es muss noch gezeigt werden, dass f(1)=a>0. Das folgt daraus, dass wegen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)f(y) f keine Nullstellen hat (klar warum?) und dem Zwischenwertsatz.
Nun haben wir gezeigt, dass schonmal gelten [mm] muss:f(x)=a^{x}, [/mm] wobei a=f(1). Um deine Behauptung zu zeigen müssen wir a=e zeigen.
f leiten wir ab:(der Editor kriegt die Striche nicht hin)
[mm] f´(x)=(a^{x})´=(exp(x log(a)))´=a^{x}*log(a)
[/mm]
Nach Vor. ist [mm] 1=f´(0)=a^{0}*log(a)=log(a), [/mm] also log(a)=1, also a=e, daraus folgt dann [mm] f(x)=e^{x}=exp(x) [/mm] und wir sind fertig.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
| |
|
Hallo Hund,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Die restlichen Kleinigkeiten mache ich selbst.
Schöne Grüße
Daniel
|
|
|
|
