exp (Konv. Matrizen), det, tr < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:09 Mo 05.06.2006 | | Autor: | cruemel |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
(i)
Für [mm] X\in M_{n}( \IR) [/mm] konvergiert
[mm] e^{X}:= \summe_{i=1}^{ \infty}\bruch{X^{n}}{n!}
[/mm]
in [mm] M_{n}(\IR).
[/mm]
(ii)
Für X,Y [mm] \in M_{n}(\IR) [/mm] mit XY=YX gilt [mm] e^{X+Y}=e^{X}*e^{Y}
[/mm]
(iii)
Für X,Y [mm] \in M_{n}(\IR) [/mm] gilt:
det(1+tX)=1+t*tr(X)+ [mm] \gamma(t)
[/mm]
für alle t, wobei [mm] \gamma:\IR\to\IR [/mm] stetig mit [mm] \limes_{t\rightarrow 0}t^{-1}\gamma(t)=0 [/mm] ist.
Folgern Sie:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{det(e^{tX})-1}{t}=tr(X).
[/mm]
(iv)
Für X [mm] \in M_{n}(\IR) [/mm] gilt:
[mm] det(e^{X})=e^{tr(X)}. [/mm] Folgern Sie [mm] e^{X}\in Gl_{n}(\IR) [/mm] |
Hallo alle zusammen!
Ich sitze grad über einer aktuellen Übungsaufgabe und komme leider keinen Schritt weiter.
(i)
Habe hier im Forum gelesen das gilt:
[mm] \exp(A)=\summe_{n=0}^\infty\bruch 1{n!}A^n=\summe_{n=0}^\infty\bruch 1{n!}(SDS^{-1})^n= \summe_{n=0}^\infty\bruch{1}{n!} SD^nS^{-1}=S\left(\summe_{n=0}^\infty\bruch{1}{n!}D\right)S^{-1}=S\exp(D)S^{-1}
[/mm]
Klingt bis auf einen Schritt für mich logisch: [mm] \summe_{n=0}^\infty \bruch{1}{n!} SD^nS^{-1}=S\left(\summe_{n=0}^\infty \bruch{1}{n!}D\right)S^{-1}
[/mm]
Warum kann ich S und [mm] S^{-1} [/mm] einfach rausziehen?
Für (ii) hab ich mir überlegt es ähnlich wie für exp(x+y) und x,y aus [mm] \IR [/mm] zu versuchen.
Also ansetzen mit exp(X)*exp(Y), cauchyprodukt anwenden, dann binomischer lehrsatz, aber wo (und warum) muss die Kommutativität rein???
[mm] C_n= \summe_{k=1}^{n}\bruch{X^k}{k!}*bruch{Y^{n-k}}{(n-k)!}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{X^k*Y^{n-k}}{k!(n-k)!}=\summe_{k=1}^{n} \vektor{n\\ k}\bruch{X^k*Y^{n-k}}{n!}= [/mm] ? (Hier Kommutativität? Wie?)
(iii)Hier hab ich wie wild aufglöst und eingesetzt, bin aber zu keinem Schritt weiter gekommen. Übrigend tr heißt Spur der Matrix.
(iv)hier hab ich nicht mal nen Ansatz. Wie kann man hier am besten beginnen?
Puh, endlich alles eingetippt, ich hoffe ihr könnt mir helfen. Grüße und Danke im Voraus
Cruemel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 09.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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