explizite in rekursive Folge < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Di 30.01.2018 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | Wir betrachten die explizite Folge
[mm] c_n [/mm] = [mm] (2+\wurzel{3})^n [/mm] + [mm] (2-\wurzel{3})^n [/mm]
Geben Sie eine rekursive Definition dieser Folge an. Berechnen Sie ferner die Folgeglieder [mm] c_0,c_1,c_2 [/mm] und [mm] c_3. [/mm] |
Hallöchen,
ich stelle mich mal wieder doof an.
In der Regel schreibt man sich ja dann [mm] c_{n+1} [/mm] auf und versucht da [mm] c_n [/mm] wieder einzufügen...
Aber ich " sehe" hier nichts...
[mm] c_n= (2+\wurzel{3})^n [/mm] + [mm] (2-\wurzel{3})^n [/mm]
[mm] =\underbrace{(2+\wurzel{3})*...*(2+\wurzel{3})}_{=n-mal}+\underbrace{(2-\wurzel{3})*...*(2-\wurzel{3})}_{=n-mal}
[/mm]
hab mir das schon überlegt mit [mm] c_n=a^n+b^n [/mm] mit a [mm] =(2+\wurzel{3}), b=(2-\wurzel{3})
[/mm]
dann wäre [mm] c_{n+1}=a^{n+1}+b^{n+1}=a*a^n+b*b^n
[/mm]
oder [mm] c_{n+2}=a^{n+2}+b^{n+2}=a^2*a^n+b^2*b^n
[/mm]
etc.
ich müsste da ja jetzt irgendwie [mm] c_n=(a^n+b^n) [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] ausgeklammert bekommen..
Könnte mir hier einer bitte einen Tipp geben wie ich hier besser zurecht komme?
Liebe Grüße
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Hallo,
überlege dir einfach mal, dass deine explizit gegebene Folge offensichtlich einer linearen Rekursion 2. Ordnung entspricht (vgl. die Binetsche Darstellung der Fibonacci-Zahlen).
Die Basen der Potenzen einer solchen Darstellung sind ja die Nullstellen des zugehörigen charakteristischen Polynoms. Also sollte dir hier das (ausmultiplizierte) Polynom
[mm]\left ( x-2-\sqrt{3} \right )*\left ( x-2+\sqrt{3} \right )[/mm]
entscheidend weiterhelfen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Di 30.01.2018 | | Autor: | Noya |
> Die Basen der Potenzen einer solchen Darstellung sind ja
> die Nullstellen des zugehörigen charakteristischen
> Polynoms. Also sollte dir hier das (ausmultiplizierte)
> Polynom
klar macht Sinn ...
>
> [mm]\left ( x-2-\sqrt{3} \right )*\left ( x-2+\sqrt{3} \right )[/mm]
>
> entscheidend weiterhelfen.
[mm] \left ( x-2-\sqrt{3} \right )*\left ( x-2+\sqrt{3} \right [/mm] ) = [mm] x^2-4x+1=0
[/mm]
also [mm] a_{n+2}=4*a_{n+1}-a_n
[/mm]
mit [mm] a_0=2
[/mm]
[mm] a_1=4
[/mm]
[mm] a_2=14
[/mm]
[mm] a_3=52
[/mm]
Stimmt das soweit?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Di 30.01.2018 | | Autor: | abakus |
"Stimmt das soweit?"
Ja. Weiter geht es mit 194, 724 und 2702.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Di 30.01.2018 | | Autor: | abakus |
"Aber ich " sehe" hier nichts..."
Um etwas zu sehen, reichen offene Augen nicht. Du brauchst auch vor deinen Augen etwas, was du ansehen kannst.
Also berechne für den Anfang mal die ersten Glieder und sieh DIE an.
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