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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mi 25.03.2009 | | Autor: | zolushka |
| Aufgabe | | Eine Bessemerbirne hat die Gestalt eines Drehkörpers, dessen Profil die Gleichung [mm] 9r^2 [/mm] = [mm] z(3-z)^2 [/mm] mit [mm] z\le [/mm] 3 erfüllt. Sie ist bis zur Höhe h mit homogener Flüssigkeit gefüllt. Wo liegt der Schwerpunkt? |
hallo,
kann mir jemand bitte sagen, was unter Schwerpunkt gemeint ist?
einen Extrempunkt oder was soll ich berechnen
vielen Dank im voraus!
mit freundlichen Grüssen
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> Eine Bessemerbirne hat die Gestalt eines Drehkörpers,
> dessen Profil die Gleichung [mm]9r^2[/mm] = [mm]z(3-z)^2[/mm] mit [mm]z\le[/mm] 3
> erfüllt. Sie ist bis zur Höhe h mit homogener Flüssigkeit
> gefüllt. Wo liegt der Schwerpunkt?
> hallo,
>
> kann mir jemand bitte sagen, was unter Schwerpunkt gemeint ist?
Nimm ein Buch und versuche es auf der Spitze Deines Zeigefingers zu balancieren. Um das Buch im Gleichgewicht zu halten, musst Du Deinen Finger möglichst genau unter dem Schwerpunkt des Buches (in Richtung des Schwerefeldes) ansetzen (genau im Schwerpunkt kannst Du das Buch so leider nicht halten, denn sein Schwerpunkt befindet sich im Inneren des Buches).
> einen Extrempunkt oder was soll ich berechnen
Nein, Du sollst nicht einen Extrempunkt berechnen sondern den Schwerpunkt des Flüssigkeitskörpers. Ist [mm] $\vec{r}$ [/mm] ein Punkt des Flüssigkeitskörpers und $dm$ das zu diesem Punkt gehörige Massenelement, dann kannst Du den Ortsvektor des Schwerpunktes so berechnen (siehe auch ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia):
[mm]\vec{r}_S =\frac{\int \vec{r}\,dm}{\int dm}[/mm]
Der Ortsvektor des Schwerpunktes ergibt sich also durch Mittelung der Drehmomente der Massenelemente des Körpers bezüglich dem Koordinatenursprung.
Weil es sich um einen rotationssymmetrischen Körper handelt, muss der Schwerpunkt auf der $z$-Achse liegen. Die $x$- und $y$-Koordinaten des Schwerpunktes sind somit beide 0.
Also musst Du nur noch die $z$-Koordinate des Schwerpunktes berechnen. Sei etwa [mm] $\rho$ [/mm] die Dichte der homogenen Flüssigkeit (sie wird zwar aus der Rechnung wieder herausfallen, aber es ist, weil ich von einem "Masselement" $dm$ schrieb, wohl besser, diese Grösse vorübergehend einzuführen). Dann ist die $z$-Koordinate des Schwerpunktes
[mm]z_S = \frac{\int\limits_0^h z\,dm}{\int\limits_0^h \,dm}= \frac{\int\limits_0^h z\, \rho dV}{\int\limits_0^h \rho dV}=\frac{\int\limits_0^h z\,\rho \pi r^2\, dz}{\int\limits_0^h \rho \pi r^2\, dz}=\frac{\int\limits_0^h z\,\rho \pi \frac{z(3-z)^2}{9}\, dz}{\int\limits_0^h \rho \pi \frac{z(3-z)^2}{9}\, dz}[/mm]
Denn das Volumenelement $dV$ bei dieser Integration in $z$-Richtung ist eine "Zylinderscheibe" mit Radius $r$ und Dicke (Höhe) $dz$. Wobei sich [mm] $r^2$ [/mm] gemäss Aufgabentext durch einen Term in $z$ ersetzen lässt.
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