extremaler Winkel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 So 14.06.2009 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | | Gegeben sind die Punkte A(5/9) und B(9/1). Wo muss C auf der y- Achse liegen damit der Winkel ACB extremal wird? |
Wie mache ich den Ansatz?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 So 14.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo lisa!
Ohne eine Skizze wirst Du hier nicht weiterkommen. Fertige diese an und versuche anschließend z.B. mittels rechwinkligen Dreiecken, eine Beziehung / Zielfunktion aufzustellen.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:17 So 14.06.2009 | | Autor: | lisa11 |
Muss ich von der Fläche eines Würfels die Fläche eines Dreiecks abziehen
wobei dessen Höhe dann maximal ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 So 14.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo lisa!
Was hat diese Frage mit der Winkelaufgabe zu tun? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 So 14.06.2009 | | Autor: | lisa11 |
im Moment bin ich bei der Skizze und ich überlege mir wie man auf C kommt ohne ein Flächenberechnung durchzuführen
Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> im Moment bin ich bei der Skizze und ich überlege mir wie
> man auf C kommt ohne ein Flächenberechnung durchzuführen
Hallo Lisa,
eine Flächenberechnung ist hier auch wirklich nicht
nötig. Man kann aber z.B. mittels Skalarprodukt eine
Formel für den Cosinus des Winkels aufstellen
(oder via Steigungen eine für den Tangens).
Dann kann man entweder den Cosinus- oder den
Tangenswert als Hilfsgröße nehmen und einmal
berechnen, für welche Lagen von C diese
Hilfsgröße extremale Werte annimmt.
Ferner kann man die Zeichnung zu Rate ziehen,
um sich anschaulich zu machen, wie sich der
Winkel verändert, wenn man C der y-Achse entlang
schiebt. Daraus kann man Anhaltspunkte für die
Anzahl und die ungefähre Lage der Extremalstellen
gewinnen.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 So 14.06.2009 | | Autor: | lisa11 |
gut ich bestimme die Hilfsgroesse der beiden Vektoren
A(5/9) und B(9/1) mit
[mm] cos(\phi) [/mm] = [mm] 9*5+1*9/9*\wurzel{70} [/mm] = 0.717 oder 41.091 Grad
Wie bestimme ich daraus Lagen von C für die dieser Wert extreme Werte annimmt?
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Hallo, aus diesen Angaben kannst du nicht C bestimmen, der Punkt C liegt auf der y-Achse, er hat die Koordinaten (0;y), jetzt kannst du doch die zwei Vektoren angeben:
[mm] \overrightarrow{CA}=\vektor{5 \\ 9-y}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{CB}=\vektor{9 \\ 1-y}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 So 14.06.2009 | | Autor: | lisa11 |
gut dann muss ich den cos von den Vektoren CA und CB bestimmen
und dann wie finde ich die extremale Lage?
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Hallo, ich habe soeben auch beide Varianten durchgerechnet, gehe über den Tanges,
[Dateianhang nicht öffentlich]
du erkennst in meiner Zeichnung eine Parallele zur x-Achse durch den Punkt C(0;y),
bezeichnen wir mit [mm] \alpha_1 [/mm] den Winkel zwischen der Parallelle zur x-Achse und [mm] \overline{CA}
[/mm]
bezeichnen wir mit [mm] \alpha_2 [/mm] den Winkel zwischen der Parallelle zur x-Achse und [mm] \overline{CB}
[/mm]
[mm] tan(\alpha_1)=\bruch{9-y}{5}
[/mm]
[mm] tan(\alpha_2)=\bruch{1-y}{9}
[/mm]
jetzt kommt eine Schwierigkeit, der Steigungswinkel einer Geraden wird immer zur x-Achse gemeseen, man könnte annehmen, [mm] \gamma=\alpha_1+\alpha_2, [/mm] da die Gerade durch die Punkte C und B fällt, gilt [mm] \gamma=\alpha_1-\alpha_2, [/mm] der Hinweis zum Subtraktionstheorem vom Tangens kam ja schon von Al-Chwarizmi, du kommst am Ende auf eine schöne quadratische Gleichung,
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> gut ich bestimme die Hilfsgroesse der beiden Vektoren
>
> A(5/9) und B(9/1) mit
>
> [mm]cos(\phi)[/mm] = [mm]9*5+1*9/9*\wurzel{70}[/mm] = 0.717 oder 41.091 Grad
>
> Wie bestimme ich daraus Lagen von C für die dieser Wert
> extreme Werte annimmt?
Hallo Lisa,
wie Steffi schon mitgeteilt hat, ist dies nicht der
Winkel, den man betrachten muss. Es geht um den
Winkel [mm] \gamma=\angle{ACB}, [/mm] also den Winkel zwischen CA und CB.
Ich habe die beiden Möglichkeiten (also mit Skalar-
produkt und Cosinus bzw. über die Steigungen mit
Tangens) ausprobiert und festgestellt, dass die zweite
deutlich einfacher ist. Am besten betrachtest du also
zuerst die Steigungen und die Steigungswinkel der
beiden Geraden CA und CB und den Tangens des von
ihnen eingeschlossenen Winkels [mm] \gamma [/mm] ! Hinweis: dabei
kann man das Subtraktionstheorem des Tangens
einsetzen.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 So 14.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sind die Punkte A(5/9) und B(9/1). Wo muss C auf
> der y- Achse liegen damit der Winkel ACB extremal wird?
> Wie mache ich den Ansatz?
Hallo,
die gesuchte Lösung ist fast elementargeoimetrisch.
Der gesuchte extremale Winkel bei C ist ein Peripheriewinkel des Umkreises von ABC über der Sehne AB.
Durch die Punkte A und B lassen sich viele verschieden große Kreise legen. Die Schnittpunkte [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] jedes dieser Kreise mit der y-Achse erzeugen zwei gleich große Peripheriewinkel [mm] AC_{1}B [/mm] bzw. [mm] AC_{2}B.
[/mm]
Je größer die durch A und B gehenden Kreise sind, um so kleiner sind die angegebenen Peripheriewinkel. Um GROSSE Peripheriewinkel zu erhalten, brauchst du also möglichst KLEINE Kreise. Zu klein dürfen die Kreise aber auch nicht sein - sie müssen die y-Achse erreichen (im Extremfall wenigstens noch berühren). Der gesuchte "extreme" Kreismittelpunkt liegt also auf der Mittelsenkrechte von AB und hat von der y-Achse den gleichen Abstand wie von A und B.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 So 14.06.2009 | | Autor: | lisa11 |
gut jetzt kann ich mir das mal vorstellen ich habe eine Zeichung gemacht und dorten wo der Kreis die y Achse berührt ist der Punkt siehe Zeichung..
morgen mache ich weiter
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> gut jetzt kann ich mir das mal vorstellen ich habe eine
> Zeichung gemacht und dorten wo der Kreis die y Achse
> berührt ist der Punkt siehe Zeichung..
O.K.
Beachte aber dann, dass es zwei Kreise gibt, die
durch A und B gehen und die y-Achse berühren und
entsprechend zwei mögliche Punkte [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] auf
der y-Achse.
Ferner sollte man denjenigen Punkt [mm] C_3 [/mm] ins Auge
fassen, für welchen der Winkel [mm] \gamma [/mm] gleich 0 ist !
Schönen Abend ! Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Calli |
Hey lisa11,
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] \tan \alpha=\frac{9-y}{5}[/mm] und [mm] \tan \beta=\frac{y-1}{9}[/mm]
Umstellen nach [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] !
[mm] \alpha+\beta=\varphi(y)[/mm]
[mm] \varphi(y) [/mm] nach y ableiten, Ableitung gleich Null setzen usw.
Ciao Calli
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hey lisa11,
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> [mm]\tan \alpha=\frac{9-y}{5}[/mm] und [mm]\tan \beta=\frac{y-1}{9}[/mm]
>
> Umstellen nach [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] !
>
> [mm]\alpha+\beta=\varphi(y)[/mm]
>
> [mm]\varphi(y)[/mm] nach y ableiten, Ableitung gleich Null setzen
> usw.
>
> Ciao Calli
Hallo Calli,
die Idee haben wir doch eigentlich schon vermittelt,
und zwar zwei Mal ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Mo 15.06.2009 | | Autor: | lisa11 |
vielen Dank ich werde mir das ansehen komme erst jetzt dazu da mein PC jetzt erst lauft...
vielen dank allen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 Di 16.06.2009 | | Autor: | lisa11 |
kann ich dies so lösen?
[mm] tan(\alpha) [/mm] = 9 -y /5
[mm] tan(\beta) [/mm] = y -1/9
[mm] \alpha [/mm] = atan(9-y/5)
[mm] \beta [/mm] = atan(y-1/9)
[mm] \phi(y) [/mm] = [mm] \alpha +\beta [/mm] = atan (76 -4y/45)
[mm] \phi' [/mm] (y) = 1/ 1 + (76 [mm] -4y/45)^2
[/mm]
[mm] \phi' [/mm] (y) = 1/ 1 + [mm] (76^2-152y [/mm] + [mm] 16y^2/2025)
[/mm]
dann dies 0 setzen und als quadratische Gleichung lösen
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> kann ich dies so lösen?
>
> [mm]tan(\alpha)[/mm] = 9 -y /5
>
> [mm]tan(\beta)[/mm] = y -1/9
Hallo,
schreib bitte Deine Brüche so, daß man erkennt, was Du gemeinst, also mit Bruchstrichen (Eingabehilfen für Formeln unterhalb des Eingabefensters) oder zumindest mit den notwendigen Klammern.
>
>
> [mm]\alpha[/mm] = atan(9-y/5)
>
> [mm]\beta[/mm] = atan(y-1/9)
>
>
> [mm]\phi(y)[/mm] = [mm]\alpha +\beta[/mm]
Soweit, so gut.
Aber es folgt eine Katastrophe:
>= atan (76 -4y/45).
das stimmt nicht.
Es ist [mm] arctan(a)+arctan(b)\not=arctan(a+b)
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Di 16.06.2009 | | Autor: | lisa11 |
[mm] atan(\alpha) [/mm] + [mm] atan(\beta) [/mm] = atan [mm] (\frac{\frac{9-y}{5}+\frac{y-1}{9}}{1+\frac{9-y}{5}*\frac{y-1}{9}})
[/mm]
= [mm] \phi(y) [/mm] = [mm] atan(\frac{76-4y}{36+10y+y^2})
[/mm]
den inneren Bruch leite ich nach y ab setze dann das ganze Null und rechne y aus?
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> [mm]atan(\alpha)[/mm] + [mm]atan(\beta)[/mm] = atan
> [mm](\frac{\frac{9-y}{5}+\frac{y-1}{9}}{1+\frac{9-y}{5}*\frac{y-1}{9}})[/mm]
Halllo,
Du scheinst mir hier ein Additionstheorem falsch verwendet zu haben. Schau nochmal genau nach, wie das geht.
(Brauchst Du es überhaupt?
Man könnte doch auch [mm] \phi(y)=[/mm] [mm]atan(\alpha)[/mm] + [mm]atan(\beta)[/mm] stehenlassen, oder hat das Nachteile bei der weiteren Rechnung?)
> = [mm]\phi(y)[/mm] = [mm]atan(\frac{76-4y}{36+10y+y^2})[/mm]
>
> den inneren Bruch leite ich nach y ab
Nicht nur den Bruch, sondern die ganze Funktion.
> setze dann das ganze
> Null und rechne y aus?
Ja, so ginge eine normale Extremwertberechnung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Di 16.06.2009 | | Autor: | lisa11 |
ich könnte hier einfach so wie ich das sehe [mm] atan(\alpha) [/mm] und [mm] atan(\beta)
[/mm]
differenzieren also jedes einzeln und dann zusammenzählen geht das auch so?
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> ich könnte hier einfach so wie ich das sehe [mm]atan(\alpha)[/mm]
> und [mm]atan(\beta)[/mm]
> differenzieren also jedes einzeln und dann zusammenzählen
> geht das auch so?
Hallo,
ja, so würde ich das erstmal machen.
In dem, was Du vorher schriebst, war aber nicht viel falsch, im Nenner hätte hinter die 1 ein Minus statt des Plus gehört.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Di 16.06.2009 | | Autor: | lisa11 |
bei mir gibt das abgeleitet:
0 = [mm] \frac{1}{1 +\frac{9-y}{5}^2 }+ \frac{1}{1+\frac{y-1}{9}^2}
[/mm]
nach der Formel arctanx = [mm] \frac{1}{1+x^2}
[/mm]
nur das gibt so eine grosse formel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Di 16.06.2009 | | Autor: | abakus |
> bei mir gibt das abgeleitet:
>
> 0 = [mm]\frac{1}{1 +\frac{9-y}{5}^2 }+ \frac{1}{1+\frac{y-1}{9}^2}[/mm]
>
> nach der Formel arctanx = [mm]\frac{1}{1+x^2}[/mm]
>
> nur das gibt so eine grosse formel
Was ist daran schlimm?
Multipliziere die Gleichung mit (1 [mm] +\frac{9-y}{5}^2 )*(1+\frac{y-1}{9}^2)
[/mm]
(Bin mir allerdings nicht sicher, ob da noch irgendwelche Klammern fehlen.)
Aber kommen wir noch mal zur geometrischen Lösung (Umkreis).
Der Mittelpunkt von AB ist Z(7|5). AB hat den Anstieg -2.
Die Mittelsekrechte von AB ist dann eine Gerade durch Z mit dem Anstieg 0,5.
Die konkrete Gleichung lautet y=0,5x+1,5.
Der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC liegt auf dieser Geraden und hat die Koordinaten
M(x|0,5x+1,5). Die Strecke MA hat dann die Länge [mm] \wurzel{(5-(0,5x+1,5))^2+(7-x)^2}.
[/mm]
Wenn der Umkreis die y-Achse gerade berührt, ist der Radius genau die x-Koordinate des Umkreismittelpunkts, also x selbst.
Dann gilt also [mm] x=\wurzel{(5-(0,5x+1,5))^2+(7-x)^2}
[/mm]
bzw. [mm] x^2=(5-(0,5x+1,5))^2+(7-x)^2.
[/mm]
Das ist eine billige quadratische Gleichung.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Calli |
@Abakus
Ich frage mich, wie bei der geometrischen Lösung mathematisch zu begründen ist, dass der gesuchte Winkel extremal ist ?
Ciao Calli
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mi 17.06.2009 | | Autor: | abakus |
> @Abakus
>
> Ich frage mich, wie bei der geometrischen Lösung
> mathematisch zu begründen ist, dass der gesuchte Winkel
> extremal ist ?
>
> Ciao Calli
Hallo,
nach dem erweiterten Sinussatz gilt [mm] \bruch{a}{sin \alpha}=\bruch{a}{sin \beta}=\bruch{c}{sin \gamma}=2R [/mm] (R ist der Umkreisradius).
Aus dem Teil [mm] \bruch{c}{sin \gamma}=2R [/mm] folgt [mm] \bruch{c}{2R}=sin \gamma [/mm] .
Für eine konstante Länge c=AB ist sin [mm] \gamma [/mm] also am größten, wenn R am kleinsten ist.
Damit ist auch [mm] \gamma [/mm] dann am größten (vorausgesetzt, dass [mm] \gamma [/mm] <90° gilt).
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Di 16.06.2009 | | Autor: | Calli |
Oh, Oh!
Die Ableitung ist falsch !
Das allgemeine x ist hier einmal $ (9-y)/5 $ und zum zweiten $ (y-1)/9 $ !
Außerdem ist noch die Kettenregel anzuwenden !
Grüße von
Calli
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![[a]](uploads/forum/00561678/forum-i00561678-n001.JPG "Dateianhänge"){kind=small}
Datei-Anhang![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
Den Sinussatz (steht ja in jeder Formelsammlung) darf man nicht vernachlässigen.![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]"){kind=small}
