extremwert problem < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
| Aufgabe | | Vom Ort A soll längs einer geradlinigen Straße (AB = 8km) die zum Umspannwerk U und dann durch das angrenzende Gelände zu einem Kraftwerk C (rechtwinkelig von B 2km entfernt) eine Leitung verlegt werden. Berechne die Entfernung des Umspannungswerks vom Ort A so, dass die Leitungskosten minimal werden, wenn 1 km entlang der Straße 60000€ und im Gelände 100000€ kosten! Randbedingungen nicht vergessen! |
Hier hab ich gleich mal mehrere Fragen:
Bei der skizze hab ich schon Probleme: hätte hier gern meine eingefügt aber irgendwie geht das nicht vielleicht könnt ihr das ja ?
aber ich werd mal schildern wie ich mir das denke! also ich hab die strecke AB und dann auf der verlängerung ist U und von B senkrecht hinauf ist C. Jetzt frag ich mich für was geben die hier überhaupt C an. Ich denk mir ja da ist sowieso die günstigste Variante AB zu gehen und dann gerade nach U weiter!
Und dann würd ich noch gerne wissen was die Randbedingungen überhaupt sind und wie man die berechnet (hab da leider nichts dazu in meinen Unterlagen!)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Mo 04.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Vom Ort A soll längs einer geradlinigen Straße (AB =
> 8km) die zum Umspannwerk U und dann durch das angrenzende
> Gelände zu einem Kraftwerk C (rechtwinkelig von B 2km
> entfernt) eine Leitung verlegt werden. Berechne die
> Entfernung des Umspannungswerks vom Ort A so, dass die
> Leitungskosten minimal werden, wenn 1 km entlang der
> Straße 60000€ und im Gelände 100000€ kosten!
> Randbedingungen nicht vergessen!
> Hier hab ich gleich mal mehrere Fragen:
>
> Bei der skizze hab ich schon Probleme: hätte hier gern
> meine eingefügt aber irgendwie geht das nicht vielleicht
> könnt ihr das ja ?
> aber ich werd mal schildern wie ich mir das denke! also ich
> hab die strecke AB und dann auf der verlängerung ist U und
> von B senkrecht hinauf ist C. Jetzt frag ich mich für was
> geben die hier überhaupt C an. Ich denk mir ja da ist
> sowieso die günstigste Variante AB zu gehen und dann
> gerade nach U weiter!
>
> Und dann würd ich noch gerne wissen was die
> Randbedingungen überhaupt sind und wie man die berechnet
> (hab da leider nichts dazu in meinen Unterlagen!)
>
Hallo,
die Leitungskosten berechnen sich mit "Kosten auf Straße" + "Kosten im Gelände".
Du gehst eine bestimmte Länge x auf der Straße und biegst an irgend einer Stelle schräg ins Gelände zum Zielpunkt ab. Diese "schräge" Strecke lässt sich mit dem Pythagoras aus einem rechtwinkligen Dreieck berechnen (in dem das Lot vom "Zielpunkt" zur Straße eine Rolle spielt).
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Di 05.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
leider hat mir die vorhergehende Antwort nicht weitergeholfen! und ich hab es leider immer noch nicht geschaft das foto meiner Skizze einzufügen.
kann da jemand nochmal drüberschaun?
Ich verstehe das so das U (welcher ja mein zielpunkt sein soll ) auf der verlängerung der straße AB liegt oder liegt U auf Punkt B oder liegt U auf AB! ich finde die angabe echt verwirrend. Hab jetzt schon meinen Fehler bemerkt und hab gesehen das man zum C auch muss!
hab mir das jetzt noch mal überlegt und es geht eigetlich nur wenn U irgendwo auf AB liegt oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Di 05.10.2010 | | Autor: | SLe |
U muss auf AB liegen, sonst macht die ganze Aufgabe keinen Sinn. Außerdem sollen ja die geringsten Kosten gefunden werden. Und die entstehen dann, wenn U auf AB liegt.
Je näher nun U bei B liegt, desto größer ist der Anteil der Leitung, die entlang der Straße günstiger verlegt werden kann. Desto länger wird aber auch die Leitung insgesamt. Und somit ergibt sich ein Extremwertproblem.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Di 05.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
So nach einigen startschwierigkeiten hab ich jetzt endlich Skizze NB: y = [mm] \wurzel{(8-x)^2 - 2^2}
[/mm]
und HB: x*60000 + y*k*100000
zur HB hab ich eine Frage: dieses k ist eine Konstante kann ich meinen Aufzeichnungen entnehmen (wobei ich zu diesem bsp keine Angabe habe) jetzt wollte ich fragen brauche ich das hier auch oder nicht und wofür brauch ich das überhaupt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Di 05.10.2010 | | Autor: | abakus |
> So nach einigen startschwierigkeiten hab ich jetzt endlich
> Skizze NB: y = [mm]\wurzel{(8-x)^2 - 2^2}[/mm]
> und HB: x*60000 +
> y*k*100000
Deine Gesamtkosten betragen(mal mit Einheiten geschrieben)
x km *60000€/km + y km * 100000€/km.
Da ist kein logischer Platz für irgendein sinnloses k.
Dein y berechnest du übrigens falsch, unter der Wurzel muss "+" stehen.
Gruß Abakus
> zur HB hab ich eine Frage: dieses k ist eine Konstante kann
> ich meinen Aufzeichnungen entnehmen (wobei ich zu diesem
> bsp keine Angabe habe) jetzt wollte ich fragen brauche ich
> das hier auch oder nicht und wofür brauch ich das
> überhaupt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Di 05.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ok danke für den Fehler den du gefunden hast!
wollte mir jetzt mein x berechnen aber leider ergibt sich am Schluss ein negativer Wert unter der Wurzel.
ich hoff jemand findet da meinen Fehler:
ausgehend von:
x*60000 + [mm] \wurzel{(8-x^2)+4} [/mm] * 100000
x* 60000 + [mm] \wurzel{68-16x+x^2}* [/mm] 100000
erste Ableitung:
1 + [mm] \bruch{1}{2} *(68-16x+x^2)^\bruch{-1}{2} [/mm] * (-16 + 2x)
1+ [mm] \bruch{-16 +2x}{2 * \wurzel{68-16x+x^2}} [/mm] = 0 /*2 /-1
[mm] \bruch{-16 +2x}{\wurzel{68-16x+x^2}} [/mm] = -1 /* wurzelausdruck
-16 + 2x = - [mm] \wurzel{68-16x+x^2} [/mm] /^2
[mm] 16^2 +4x^2 [/mm] = -68 + 16x - [mm] x^2 [/mm]
[mm] 5x^2 [/mm] - 16x + 324 = 0
[mm] \bruch{-16 \pm \wurzel{16^2 - 4*5*324}}{2*5 } [/mm] = 0
so sieht meine rechnung aus. Wäre super wenn mir da jemand drübersehen könnte ich find keinen Fehler mehr.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Di 05.10.2010 | | Autor: | abakus |
> ok danke für den Fehler den du gefunden hast!
>
> wollte mir jetzt mein x berechnen aber leider ergibt sich
> am Schluss ein negativer Wert unter der Wurzel.
>
> ich hoff jemand findet da meinen Fehler:
>
> ausgehend von:
>
> x*60000 + [mm]\wurzel{(8-x^2)+4}[/mm] * 100000
> x* 60000 + [mm]\wurzel{68-16x+x^2}*[/mm] 100000
>
> erste Ableitung:
>
> 1 + [mm]\bruch{1}{2} *(68-16x+x^2)^\bruch{-1}{2}[/mm] * (-16 + 2x)
>
> 1+ [mm]\bruch{-16 +2x}{2 * \wurzel{68-16x+x^2}}[/mm] = 0 /*2 /-1
>
Hallo
Die Ableitung von 60000x ist nicht 1, sondern 60000.
Den Faktor 100000 hast du auch unterschlagen.
Gruß Abakus
>
> [mm]\bruch{-16 +2x}{\wurzel{68-16x+x^2}}[/mm] = -1 /*
> wurzelausdruck
>
>
> -16 + 2x = - [mm]\wurzel{68-16x+x^2}[/mm] /^2
>
> [mm]16^2 +4x^2[/mm] = -68 + 16x - [mm]x^2[/mm]
>
> [mm]5x^2[/mm] - 16x + 324 = 0
>
> [mm]\bruch{-16 \pm \wurzel{16^2 - 4*5*324}}{2*5 }[/mm] = 0
>
> so sieht meine rechnung aus. Wäre super wenn mir da jemand
> drübersehen könnte ich find keinen Fehler mehr.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Di 05.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ok danke für die Hilfe!
ich hab jetzt für die 1. Ableitung:
60000 + [mm] \bruch{(-16+2x)*100000}{2*\wurzel{64-16x+x^2+4}}
[/mm]
kann das stimmen ? irgendwie glaub ich nicht oder?
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Hallo, deine Ableitung ist korrekt, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Di 05.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ich komm jetzt zwar auf x1/2 aber leider sind die nicht sinnvoll: x1= 8,089678 x2=-87,499
ich hab so gerechnet:
60000 + $ [mm] \bruch{(-16+2x)\cdot{}100000}{2\cdot{}\wurzel{64-16x+x^2+4}} [/mm] $ = 0
120000 + $ [mm] \bruch{(-16+2x)\cdot{}100000}{\cdot{}\wurzel{64-16x+x^2+4}} [/mm] $ = 0
(2x-16)*100000 = -120000* [mm] \wurzel{68-16x+x^2} [/mm] = 0
[mm] 4*10^{10} x^2 [/mm] - [mm] 2,56*10^{12} [/mm] = [mm] 1,44*10^{10} [/mm] * [mm] (68-16x+x^2) [/mm] = 0
[mm] 4*10^{10} x^2 [/mm] - [mm] 2,56*10^{12} [/mm] = [mm] 9,792*10^{11} [/mm] - [mm] 2,304*10^{11} [/mm] x + [mm] 1,44*10^{10} x^2 [/mm] = 0
[mm] 2,56*10^{10} x^2 [/mm] + [mm] 2,304*10^{11} [/mm] x - [mm] 3,5392*10^{12} [/mm] = 0
[mm] 2,56x^2 [/mm] * 23,04x - 353,92 = 0
[mm] x_{1;2} \bruch{-23,04 \pm \wurzel{530,8416 + 3624,1408}}{5,12}
[/mm]
so und jetzt komm ich auf die oben genannten Lösungen!
ich hoffe das sich das jemand durchschauen kann (ich weiß ist viel arbeit) aber ich habs schon 4 mal durch und komm nicht auf meinen Fehler!
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Hallo,
(2x-16)*100000 = [mm] -120000*\wurzel{68-16x+x^2}=0
[/mm]
nun teilen wir erst einmal unsere Gleichung durch 20000, schon sind wir die Zehnerpotenzen los
[mm] (2x-16)*5=-6*\wurzel{68-16x+x^2}
[/mm]
sieht doch schon freundlicher aus
[mm] 10x-80=-6*\wurzel{x^2-16x+68}
[/mm]
die Gleichung quadrieren
[mm] 100x^2-1600x+6400=36*(x^2-16x+68)
[/mm]
[mm] 100x^2-1600x+6400=36x^2-576x+2448
[/mm]
nun zusammenfassen, p-q-Formel anwenden, du bekommst zwei Lösungen, aber eine Lösung trifft nur für dein Problem zu
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Di 05.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
Vielen Dank für deine Hilfe!
Hab jetzt als Lösung x = 6,9 herausbekommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Di 05.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
In meiner Aufgabe steht auch noch "Randbedingungen nicht vergessen". Meinen die damit die Haupt-und Nebenbedingung?
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Hallo, leider stimmt x=6,9 nicht, stelle mal den Lösungsweg deiner quadratischen Gleichung vor,wir finden den Fehler, dann sprechen wir noch über die Randbedingung, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Di 05.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
Hab grad entdeckt, dass ich einen Fehler gemacht habe. Ich habe beim Nenner der binomischen Formel eine Zahl vergessen.
Also meine Bionomische Formel:
[mm] \bruch{2716 \pm 2522,88}{128}
[/mm]
[mm] x_{1}= [/mm] 40,9
[mm] x_{2}= [/mm] 1,5
Ich hoffe, dass 1,5 jetzt stimmt?!?!
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Hallo, leider ist absolut nicht ersichtlich, wo du diesen Term hergezaubert hast, wir hatten
[mm] 100x^{2}-1600x+6400=36x^{2}-576x+2448
[/mm]
[mm] 64x^{2}-1024x+3952=0
[/mm]
[mm] x^{2}-16x+61,75=0
[/mm]
so aber nun gewissenhaft die p-q-Formel anwenden
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Di 05.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
$ [mm] 100x^{2}-1600x+6400=36x^{2}-576x+2448 [/mm] $
$ [mm] 64x^{2}-1024x+3952=0 [/mm] $
Ich verstehe,... Ich habe immer 1600x -576 x gerechnet und dafür 2716x herausbekommen,... und dann die a-b-c-formel benutzt
Also na dann,
[mm] x_{1} [/mm] = 9,5
[mm] x_{2} [/mm] = 6,5
Lösung: 6,5
(Danke für deine Geduld!!!)
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Hallo, jetzt ist alles stimmig, 9,5 entfällt, da die Orte A und B nur 8km voneinander entfernt sind, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Di 05.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
okay, danke!
Wie schauts nun mit den Randbedingungen aus? ist das die Haupt-und Nebenbedingung?
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Hallo Laura_88,
> okay, danke!
>
> Wie schauts nun mit den Randbedingungen aus? ist das die
> Haupt-und Nebenbedingung?
Ich denke, wenn die Leitungen
- nur im Gelände
- 8 km entlang der Straße und 2 km im Gelände
verlegt werden, sind mit Randbedingungen gemeint.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Di 05.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo Laura_88,
>
> > okay, danke!
> >
> > Wie schauts nun mit den Randbedingungen aus? ist das die
> > Haupt-und Nebenbedingung?
>
>
> Ich denke, wenn die Leitungen
>
> - nur im Gelände
> - 8 km entlang der Straße und 2 km im Gelände
>
> verlegt werden, sind mit Randbedingungen gemeint.
>
>
> Gruss
> MathePower
>
>
Um es mal etwas abstrakter auszudrücken: Du musst sicherstellen, dass das lokale Minimum auch das globale Minimum ist.
Apropos Minimum:
Du hast die Aufgabe noch nicht komplett gelöst.
Dein aktueller Stand: Du hast eine extremwertverdächtige Stelle gefunden.
Was du nicht ausgeschlossen hast:
- an der Stelle könnte auch ein lokales Maximum liegen
- es ist vielleicht gar keine Extremstelle, sondern nur eine Horizontalwendestelle.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Di 05.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
DANKE, ich verstehe jetzt was mit Randbedingungen gemeint ist!
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Hallo, mit x war die Strecke entlang der Straße gesucht, die Ortschaften A und B sind doch aber nur 8km voneinander entfernt, somit kannst du doch nicht 9,5km entlang der Straße deine Leitung verlegen, somit entfällt die Lösung x=9,5km, obwohl es eine Lösung der quadratischen Gleichung ist, d.h. nach 6,5km entlang der Straße verläuft die Leitung durch das Gelände, Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Di 05.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
Danke für deine Hilfe und Geduld!
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