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Zwischen zwei punkten A und B an den gegenüberliegenden Ufern eines 1 km breiten Flusses muss ein Kabel verlegt werden.
Die Verlegung durch den Fluss (Wasser) kostet pro km viermal soviel wie die Verlegung am Ufer (Land). Wie ist bei einer Entfernung der Uferpunkte von [mm] \wurzel{10} [/mm] km das Kabel zu verlegen, damit die Verlegungskosten minimal sind.
Stellen Sie eine Kostenfunktion auf, bestimmen Sie die Minimalstelle und begründen Sie präzise, warum das von ihnen bestimmte x auch tatsächlich das globale Minimum der Verlegungskosten darstellt.
ich weiß dass ich eine Funktion aufstellen muss (hauptbedingungen, Nebenbedingungen,Zielfunktion) und die dann gleich Null setzen muss um die Extremstellen berechnen zu können..
wie mach ich das jedoch...
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> Zwischen zwei punkten A und B an den gegenüberliegenden
> Ufern eines 1 km breiten Flusses muss ein Kabel verlegt
> werden.
> Die Verlegung durch den Fluss (Wasser) kostet pro km
> viermal soviel wie die Verlegung am Ufer (Land). Wie ist
> bei einer Entfernung der Uferpunkte von [mm]\wurzel{10}[/mm] km das
> Kabel zu verlegen, damit die Verlegungskosten minimal
> sind.
>
> Stellen Sie eine Kostenfunktion auf, bestimmen Sie die
> Minimalstelle und begründen Sie präzise, warum das von
> ihnen bestimmte x auch tatsächlich das globale Minimum der
> Verlegungskosten darstellt.
>
>
> ich weiß dass ich eine Funktion aufstellen muss
> (hauptbedingungen, Nebenbedingungen,Zielfunktion) und die
> dann gleich Null setzen muss um die Extremstellen berechnen
> zu können..
>
> wie mach ich das jedoch...
Hi Jessica,
erster Schritt bei sowas: Skizze machen. Wenn H der der Lotfußpunkt des Lotes von A auf der gegenüberliegende Uferseite ist, dann ist AHB ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem zwei Seiten bekannt sind. Es ist also eindeutig durch die Aufgabenstellung definiert. Insbesondere kannst du die Seite BH ausrechnen (Pythagoras): [mm] BH=\sqrt{\sqrt{10}^2-1}=3
[/mm]
Nun musst du dir überlegen, welche Verlegungspfade prinzipiell Sinn machen könnten. Es gibt zwei Randfälle:
a) Einmal das Kabel senkrecht zum Fluss legen und dann von dort weiter am Ufer verkabeln.
b) direkt diagonal über den Fluss verkabeln.
Dazwischen liegen noch ein paar andere denkbare Fälle.
Ganz allgemein könnte eine gewisse Strecke s am Ufer mit [mm] 0\leq s\leq3 [/mm] verkabelt werden und die restliche Strecke diagonal. Dafür gibt sich die Länge [mm] \sqrt{(3-s)^2+1^2}. [/mm] Um dir das zu verdeutlichen: Skizze!
Nun kommt noch die Kostengewichtung dazu und schon hast du deine Funktion
Gruß
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Wie kann ich hier eine skizze hochladen?
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Hallo,
unterhalb des Fensters ist ein Feld Dateianhänge: hochladen und verwalten.
Dort draufklicken, alles weitere ist dort erklärt ...
Gruß
schachuzipus
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[Dateianhang nicht öffentlich]
müsste ich noch genauso vorgehen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 So 20.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Koenntest du deine Frage vielleicht noch ein wenig konkretisieren?
Was ist denn nun deine Kostenfunktion, ich hatte sie dir ja schon halb verraten?
Gruß
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was ich lediglich wissen wollte , war ob ich noch genauso vorgehen muss nachdem du skizze zu der aufgabenstellung gesehen hast
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 So 20.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> was ich lediglich wissen wollte , war ob ich noch genauso
> vorgehen muss nachdem du skizze zu der aufgabenstellung
> gesehen hast
Bei der Skizze verläuft das Kabel auf der anderen Seite des Ufers, aber die Vorgehensweise ändert sich dadurch nicht (A und B sind ja sozusagen vertauschbar  )
Grüße!
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was ich lediglich wissen wollte , war ,ob ich noch genauso vorgehen muss nachdem du skizze zu der aufgabenstellung gesehen hast
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> müsste ich noch genauso vorgehen?
Siehe Mitteilung
LG
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hmm okay.. die verlegung durch den fluss kostet pro km viermal soviel wie die verlegung am ufer...
[mm] \wurzel{(3-s)^2 + (1)^2} [/mm] müsste da nicht dann noch ein 1/4 mit hinzu?
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> hmm okay.. die verlegung durch den fluss kostet pro km
> viermal soviel wie die verlegung am ufer...
>
> [mm]\wurzel{(3-s)^2 + (1)^2}[/mm] müsste da nicht dann noch ein
> 1/4 mit hinzu?
Die Kostengewichtung musst du natürlich mit einbringen.
z. B. wäre [mm] $K:[0,3]\to\IR, K(s)=s+4\wurzel{(3-s)^2 + (1)^2}$ [/mm] eine Kostenfunktion (Kabel unter Wasser kostet das Vierfache, daher Faktor 4).
Davon ist nun das globale Minimum gesucht [...]
Gruß
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ich muss ja trotzdem die lokalen extremstellen ermitteln,stimmts?
wenn ich das jetzt so berechne, dann folgt irgendwann bei der pq formel ein negativer ausdruck unter der wurzel...:
K(s)= (3-s)+4 [mm] \wurzel{(3-s)^2 - (1)^2}
[/mm]
so dann habe ich auf beiden seiten quadriert:
[mm] (3-s)^2 [/mm] + 16 [mm] (3-s)^2 [/mm] - [mm] (1)^2
[/mm]
= [mm] 17s^2 [/mm] - 102s+154 | :17
[mm] s^2 [/mm] -6s + 9 [mm] \frac{1}{17}=0
[/mm]
wenn ich jetzt die pq formel anwede folt wurzel aus -1/17 ..
so was habe ich denn falsch gemacht?
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Hallo Jessica2011,
> ich muss ja trotzdem die lokalen extremstellen
> ermitteln,stimmts?
Ja.
> wenn ich das jetzt so berechne, dann folgt irgendwann bei
> der pq formel ein negativer ausdruck unter der wurzel...:
>
> K(s)= (3-s)+4 [mm]\wurzel{(3-s)^2 - (1)^2}[/mm]
>
> so dann habe ich auf beiden seiten quadriert:
>
> [mm](3-s)^2[/mm] + 16 [mm](3-s)^2[/mm] - [mm](1)^2[/mm]
Das Quadrat einer Summe ist nicht gleich der
Summe der Quadrate der einzelnen Summanden
[mm]\left(\ (3-s)+4 \wurzel{(3-s)^2 - (1)^2} \ \right)^{2} \not= (3-s)^2 + 16 \left( \ (3-s)^2 - (1)^2 \ \right)[/mm]
Hier ist doch die 1. Ableitung von K(s) zu bilden.
>
> = [mm]17s^2[/mm] - 102s+154 | :17
>
> [mm]s^2[/mm] -6s + 9 [mm]\frac{1}{17}=0[/mm]
>
> wenn ich jetzt die pq formel anwede folt wurzel aus -1/17
> ..
>
> so was habe ich denn falsch gemacht?
Gruss
MathePower
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-.-
okay
K(s)= (3-s)+4 [mm] (10-6s+s^2)^{0,5}
[/mm]
K´(s)= -s+ 4*0,5 [mm] (s^2-6s+10)^{0,5}*2s-6
[/mm]
= [mm] 4s^3-30s^2+75s-60
[/mm]
und jetzt über polynomdivision oder?
hab schon einige zahlen ausprobiert aber irgendwie finde ich keine mögliche nullstelle -.-
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Hallo Jessica2011,
> -.-
>
> okay
>
> K(s)= (3-s)+4 [mm](10-6s+s^2)^{0,5}[/mm]
>
> K´(s)= -s+ 4*0,5 [mm](s^2-6s+10)^{0,5}*2s-6[/mm]
Die Ableitung des ersten Summanden stimmt nicht.
Die Ableitung des zweiten Summanden muss
[mm]4*0,5 (s^2-6s+10)^{\blue{-}0,5}*\left(2s-6\right)[/mm]
lauten.
>
> = [mm]4s^3-30s^2+75s-60[/mm]
>
> und jetzt über polynomdivision oder?
>
> hab schon einige zahlen ausprobiert aber irgendwie finde
> ich keine mögliche nullstelle -.-
Die Ableitung K'(s) ist nicht richtig. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Gruss
MathePower
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K´(x)= 1+ 2 [mm] (s^2-6s+10)^-0,5 [/mm]
so aber?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:40 Mo 21.02.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> K´(x)= 1+ 2 [mm](s^2-6s+10)^-0,5[/mm]
>
> so aber?
Hetzt fehlt noch die innere Ableitung des Wurzelteilterms
Aus:
[mm] K(s)=\red{s}+4\wurzel{(3-s)^2+(1)^2}=s+\sqrt{10-6s+s^{2}} [/mm]
folgt:
[mm] K'(s)=1+\frac{1}{2\sqrt{10-6s+s^{2}}}\cdot(-6+2s) [/mm]
Jetzt kannst du im hinteren Teil noch den Faktor 2 kürzen.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 So 20.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo,
die Funktion muss $ [mm] K:[0,3]\to\IR, K(s)=\red{s}+4\wurzel{(3-s)^2 + (1)^2} [/mm] $ heißen. Da stand bei meiner ersten Version noch Unsinn.
s die Länge des am Ufer verlegten Kabels.
entsprechend ist auch die Ableitung anders - aber du hast auch so noch einen Ableitungsfehler drin...
Gruß
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