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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Mo 21.08.2006 | | Autor: | Knaubi |
Hi ich habe ein neues Thema in Mathe und sofort Hausaufgaben auf.
Die aufgabe;
Mit einem zaun der länge 100m soll ein rechteckiger hühnerhof mit möglichst großem Flächeninhalt eingezäumt werden.
a) mithilfe der Differenzialrechnung
b)ohne Differenzialrechnung die breite x des hühnerhofes.wie groß ist jeweils die maximale fläche?
mein rechenweg:
1)zielfunktion und nebenfunktion formulieren:
A=a*b
nebenbedingung:U=2*a+2*b
also: 2a+2b=100
2)dan hab ich nach (a) aufgelöst und bekomme a=100-2b/2
3) ich habe es in die zielfunktion eingesetzt
[mm] A=100-2b/2-b^2
[/mm]
4)bestimmt das Max A(b)
A'(b)=-2b+20 das augelöst nach b =25
A''(25)=-2 <0
Max. bei b=25
ok wie mit b so hab ich es auch mit a gemacht.
Meine frage jetzt kann es so hinkommen und welchen teil der aufgabe hab ich hier erledigt?(voll kein plan)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Hi ich habe ein neues Thema in Mathe und sofort
> Hausaufgaben auf.
Klar, ohne Aufgaben würdest du es doch direkt wieder vergessen. 
> Die aufgabe;
> Mit einem zaun der länge 100m soll ein rechteckiger
> hühnerhof mit möglichst großem Flächeninhalt eingezäumt
> werden.
>
> a) mithilfe der Differenzialrechnung
> b)ohne Differenzialrechnung die breite x des
> hühnerhofes.wie groß ist jeweils die maximale fläche?
>
>
> mein rechenweg:
>
>
> 1)zielfunktion und nebenfunktion formulieren:
> A=a*b
>
> nebenbedingung:U=2*a+2*b
> also: 2a+2b=100
>
> 2)dan hab ich nach (a) aufgelöst und bekomme a=100-2b/2
>
> 3) ich habe es in die zielfunktion eingesetzt
>
> [mm]A=100-2b/2-b^2[/mm]
>
> 4)bestimmt das Max A(b)
> A'(b)=-2b+20 das augelöst nach b =25
> A''(25)=-2 <0
>
> Max. bei b=25
>
> ok wie mit b so hab ich es auch mit a gemacht.
Du meinst, du hast die Formel auch noch nach a aufgelöst? Das brauchst du gar nicht, denn du hast doch unter 2) stehen: [mm] a=\bruch{100-2b}{2}, [/mm] da kannst du dein b einfach einsetzen und a ausrechnen. 
> Meine frage jetzt kann es so hinkommen und welchen teil der
> aufgabe hab ich hier erledigt?(voll kein plan)
Das kann nicht nur hinkommen, das tut es auch. Es ist nämlich immer so, dass das flächengrößte Rechteck immer ein Quadrat ist (es sei denn, du hast Extremwertaufgaben angegeben, wo das Grundstück nicht komplett umzäunt werden soll, weil z. B. an einer Seite eine Garage oder ein Fluss ist...). Und wenn alle Seiten 25m lang sind, hast du ja ein Quadrat.
Damit hast du Teil a gelöst, du hast ja Ableitungen und ein Maximum berechnet und das gehört ja zur Differentialrechnung.
Was mit Teil b) gemeint ist, weiß ich allerdings nicht. :-(
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Di 22.08.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Kuebi,
das Ergebnis ist richtig, aber in Deiner Rechnung sind allerlei Fehler (ich meine nicht nur die fehlenden Klammern). Ich denke, die sind beim Eintippen entstanden, denn so hättest Du kaum das richtige Ergebnis erhalten können.
Es muss natürlich heißen:
a=(100-2b)/2 = 50-b oder hübscher: $a = [mm] \bruch{100-2b}{2}=50-b$
[/mm]
dann:
A= (100-2b)/2*b = [mm] 50b-b^2 [/mm] bzw: $A(b)= [mm] \bruch{100-2b}{2}*b [/mm] = [mm] 50b-b^2$
[/mm]
und schließlich auch
$A'(b) = 50 - 2b$
Das führt dann nach Gleichsetzen mit Null zu Deinem korrekten $b=25$.
zu b)
ich denke, das Maximum soll auf "Mittelstufen-Art" bestimmt werden.
Auch dazu ist erstmal obige Zielfunktion nötig:
> [mm]A(b)=50b-b^2 = -b^2+50b[/mm]
Das ist eine nach unten geöffnete Parabel, deren Scheitelpunkt (=Maximum) man ja auch ohne Differentialrechung ermitteln kann, z.B. durch Umformung in die Scheitelpunktsform (dazu bin ich jetzt zu faul... )
Oder auch durch berechnen der Nullstellen, der x-Wert des Maximums muss dann genau in der Mitte dazwischen liegen.
Schöne Grüße,
ardik
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