f-invarianter Unterraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Di 10.06.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel für einen f-invarianten Unterraum U von [mm] \IR^3 [/mm] der Dimension 2, wobei [mm] f:\IR^3 \to \IR^3 [/mm] durch [mm] f(x) = \pmat{1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0} x [/mm] für alle [mm] x \in \IR^3 [/mm] definiert ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ist das so richtig gedacht, oder verstehe ich die Aufgabe falsch ? :
[mm] U=<\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0}> [/mm]
Danke, Susanne.
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> Geben Sie ein Beispiel für einen f-invarianten Unterraum U
> von [mm]\IR^3[/mm] der Dimension 2, wobei [mm]f:\IR^3 \to \IR^3[/mm] durch
> [mm]f(x) = \pmat{1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0} x[/mm] für alle [mm]x \in \IR^3[/mm]
> definiert ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> ist das so richtig gedacht, oder verstehe ich die Aufgabe
> falsch ? :
> [mm]U=<\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0}>[/mm]
Hallo,
ob's falsch gedacht ist, weiß ich gar nicht, jedenfalls ist es falsch gemacht.
f-invariant bedeutet ja, daß das Bild von U eine Teilmenge v. U sein muß.
Gucken wir uns Dein U nun an:
[mm] f(U)= [/mm] = [mm] <\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\0\\1}>, [/mm] und das ist keine Teilmenge von U.
Aber schau Dir mal die Matrix rechts unten an:
[mm] \pmat{1&0&0\\0&\red{0}&\red{-1}\\0&\red{1}&\red{0}}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Di 10.06.2008 | | Autor: | SusanneK |
> f-invariant bedeutet ja, daß das Bild von U eine Teilmenge
> v. U sein muß.
Ah, das hatte ich übersehen ! VIELEN DANK !
Also, dann wähle ich
[mm]f(U)=[/mm] = [mm]<\vektor{0\\-1\\0}, \vektor{0\\0\\1}>,[/mm] und das ist eine Teilmenge von U.
>
> Aber schau Dir mal die Matrix rechts unten an:
>
> [mm]\pmat{1&0&0\\0&\red{0}&\red{-1}\\0&\red{1}&\red{0}}[/mm]
>
Erkennst Du das ohne Probieren an der Matrix ?
LG, Susanne.
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> > f-invariant bedeutet ja, daß das Bild von U eine Teilmenge
> > v. U sein muß.
>
> Ah, das hatte ich übersehen ! VIELEN DANK !
> Also, dann wähle ich
> [mm]f(U)=[/mm] =
> [mm]<\vektor{0\\-1\\0}, \vektor{0\\0\\1}>,[/mm] und das ist eine
> Teilmenge von U.
Hallo,
sicher meinst Du dies:
Du wählst
[mm] U:=<\vektor{0\\1\\0},\vektor{0\\0\\1}> [/mm] und erhältst
> [mm]f(U)=[/mm] =
> [mm][mm] <\vektor{0\\-1\\0}, \vektor{0\\0\\1}>
[/mm]
=U.
Also hast Du mit U einen f-invarianten Unterraum gefunden.
> >
> > Aber schau Dir mal die Matrix rechts unten an:
> >
> > [mm]\pmat{1&0&0\\0&\red{0}&\red{-1}\\0&\red{1}&\red{0}}[/mm]
> >
> Erkennst Du das ohne Probieren an der Matrix ?
Naja, nicht immer, aber hier hat man ja eine Diagonalkästchenmatrix vorliegen.
[mm] \pmat{\blue{1}&0&0\\0&\red{0}&\red{-1}\\0&\red{1}&\red{0}}.
[/mm]
Wenn Du verstehst, wie die Darstellungsmatrizen gemacht werden, wirst Du verstehen, daß Du an den Diagonalblöcken invariante Unterräume ablesen kannst.
Ich habe eben in meinem Skript nachgeschaut, bei mir war das 12.1.18., ganz am Anfang des Kapitels "Normalformen von Endomorphismen".
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Di 10.06.2008 | | Autor: | SusanneK |
Ah, werde ich nachlesen müssen !!!
VIELEN VIELEN DANK !!
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