f(a)=0, a aus Quotientenkörper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Sanshine |
Moin!
Hätte (mal wieder) eine Frage:
Sei R ein faktorieller Bereich, K ein Quotientenkörper von R, f [mm] \in [/mm] R[t] normiert und a [mm] \in [/mm] K mit f(a)=0
Beh: a [mm] \in [/mm] R
Habe ein wenig gegrübelt und brauche glaube ich mal wieder Tipps. Warum das in etwa so ist, habe ich mir am Beispiel von [mm] \IZ [/mm] und [mm] \IQ [/mm] verdeutlicht, bin aber noch nicht auf einen allgemeinen Ansatz gekommen.
Habe versucht, darauf zu schließen, indem ich [mm] f(a)=\summe_{i=0}^{n}b_{i}a^i=0 [/mm] (für n aus n, [mm] b_i \in [/mm] R) betrachtet habe und ein wenig umgeformt habe... leider recht erfolglos...
Wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte,
Gruß, San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Sa 10.12.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> Moin!
> Hätte (mal wieder) eine Frage:
> Sei R ein faktorieller Bereich, K ein Quotientenkörper von
> R, f [mm]\in[/mm] R[t] normiert und a [mm]\in[/mm] K mit f(a)=0
> Beh: a [mm]\in[/mm] R
> Habe ein wenig gegrübelt und brauche glaube ich mal wieder Tipps. Warum das in etwa so ist, habe ich mir am Beispiel von [mm]\IZ[/mm] und [mm]\IQ[/mm] verdeutlicht, bin aber noch nicht auf einen allgemeinen Ansatz gekommen.
> Habe versucht, darauf zu schließen, indem ich [mm]f(a)=\summe_{i=0}^{n}b_{i}a^i=0[/mm] (für n aus n, [mm]b_i \in[/mm] R) betrachtet habe und ein wenig umgeformt habe... leider recht erfolglos...
die idee das mal beispielhaft über den ganzen zahlen zu betrachten war schon nicht schlecht und sollte auch zum ziel führen. nimm mal an die nullstelle sei $a = x/y$ mit $x [mm] \in [/mm] R, y [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus \{ 0 \}$. [/mm] nun genügt es zu zeigen, dass $y [mm] \in R^\times$. [/mm] setzt du diese form des $a$'s nun in die von dir angegebene gleichung ein, so erhälst du:
[m] 0 = (x/y)^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_k (x/y)^k [/m]
und nach multiplikation mit [mm] $y^n$ [/mm] und weiteren umformungen:
[m] -x^n = y \sum_{k=0}^{n-1} a_k x^k y^{n-k-1} [/m]
das sollte dir nun weiterhelfen, wenn du noch vorraussetzt, dass $x$ und $y$ teilerfremd sind - was man über faktoriellen ringen wohl auch immer machen kann.
probiere mal, ob du so schon zum ziel kommst, wenn nicht melde dich nochmal.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Sanshine |
Also... ehrlich gesagt.... hilft mir das noch nicht so ganz weiter. Wieso meinst du, muss ich nur noch zeigen, dass [mm] y\inR^\times [/mm] (bzw. was konkret meinst du damit, wenn nicht [mm] R\{0}???)
[/mm]
Hmmm... deine Umformungen, habe ich soweit nachvollziehen können (hatte ich z.T. sogar so schon selbst angedacht), aber was das letzter mir helfen soll, oder warum ich x,y als teilerfremd voraussetzen soll (will ich nicht gerade herausbekommen, dass y x teilt, damit es x/y insbes. in R liegt?), das ist mir noch nicht klar. Oder wird das ein Widerspruchsbeweis und ich sehe in der Gleichung nur noch nicht, wo aus der Teilerfremdheit von x und y der Widerspruch folgt???
Bitte noch mal um Hilfe,
San
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Mo 12.12.2005 | | Autor: | andreas |
> Also... ehrlich gesagt.... hilft mir das noch nicht so ganz
> weiter. Wieso meinst du, muss ich nur noch zeigen, dass
> [mm]y\inR^\times[/mm] (bzw. was konkret meinst du damit, wenn nicht
> [mm]R\{0}???)[/mm]
also mit [mm] $R^\times$ [/mm] meine ich die einheitengruppe, also alle invertierbaren elemnet des rings $R$. wenn $y [mm] \in R^\times$, [/mm] kann man das nämlich "kürzen", wenn man $x = [mm] yy^{-1}x$ [/mm] beachtet und hat somit als "nenner" nur noch $1$ dastehen und als "zähler" das ringelement [mm] $y^{-1}x$, [/mm] insgesamt also ein element, das schon im ring lag, wenn man es mit seinem bild unter der kanonischen einbettung betrachtet.
> Hmmm... deine Umformungen, habe ich soweit nachvollziehen
> können (hatte ich z.T. sogar so schon selbst angedacht),
> aber was das letzter mir helfen soll, oder warum ich x,y
> als teilerfremd voraussetzen soll (will ich nicht gerade
> herausbekommen, dass y x teilt, damit es x/y insbes. in R
> liegt?), das ist mir noch nicht klar. Oder wird das ein
> Widerspruchsbeweis und ich sehe in der Gleichung nur noch
> nicht, wo aus der Teilerfremdheit von x und y der
> Widerspruch folgt???
wie gesagt kann man oBdA annehmen, dass $x$ und $y$ teilerfremd sind und dann eben aus oben gebschriebenen folgern, dass $a [mm] \in [/mm] R$.
ich hoffe jetzt ist es klarer.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Sei R ein faktorieller Bereich, K ein Quotientenkörper von R, f [mm] \in [/mm] R[t] normiert und a [mm] \in [/mm] K mit f(a)=0
Beh: a [mm] \in [/mm] R
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Erst einmal: Vielen Dank, Andreas, für die Mühe. Nachdem die Bezeichnungsfrage geklärt ist, ist mir natürlich klar, dass (wenn [mm] a:=\bruch{x}{y}) [/mm] gezeigt werden muss, dass [mm] y\in [/mm] E(R) (bzw. [mm] R^{\times} [/mm] ;) )
Aber... ehrlich gesagt, verstehe ich deinen restlichen Ansatz immer noch nicht - und bin demzufolge noch keinen Schritt weiter.
Ich befürchte, ich brauche doch noch mal eine idiotensichere Erklärung (jeden kleinsten Schritt für Schritt) für diese Aufgabe,
Gruß,
San
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Do 15.12.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
aus der letzten gleichung in meinem ersten post folgt doch, dass $y$ [mm] $-x^n$ [/mm] teilt. da $x$ und $y$ und damit natürlich auch $y$ und [mm] $x^n$ [/mm] teilerfremd sind, muss $y$ auch die $1$ teilen und ist damit eine einheit.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Do 15.12.2005 | | Autor: | Sanshine |
Autsch!
Danke, das sehe sogar ICH ein...
Vielen Dank für deine dreifache Mühe!
Ich werde jetzt wohl erst einmal die Antwort komplett und sinnvoll zusammengesetzt aufschreiben und mir dann im Anschluss ein neues Berufsziel überlegen.
Gruß
San
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