f diff.bar => f' stetig? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Forum,
im Studium ist mir nun zu genüge eingehämmert worden, dass diese Folgerung: [f differenzierbar [mm] \Rightarrow [/mm] f' stetig] im Allgemeinen nicht gilt. Kennt jemand von euch zufällig ein Beispiel, welche diese Folgerung widerlegt? Da ich erst gerade das erste Semester beendet habe, haben wir uns bis jetzt, funktionentechnisch, hauptsächlich in [mm] \IR, \IC [/mm] und [mm] \IR_{n} [/mm] bewegt, und speziell in [mm] \IR [/mm] will mir partout kein Gegenbeispiel einfallen. Wenn f auf einem bestimmten Intervall I differenzierbar ist, ist f auf I stetig, und die Ableitung scheint mir dann irgendwie zwangsweise auch auf I stetig zu sein - Mich würde einfach nur interessieren, inwieweit das nicht immer der Fall sein kann, würde mich über ein paar Worte freuen :)
°amai
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Do 04.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
ein Beispiel für eine solche Funktion ist [mm] $f:\IR\to\IR, f(x)=\begin{cases} x^2\sin \bruch1x, & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}$. [/mm] An der Stelle $x=0$ lässt sich die Differenzierbarkeit mit deren Definition nachprüfen. An den Stellen [mm] $x\not=0$ [/mm] kann man bequem mit den üblichen Rechenregeln ableiten. Man erhält für [mm] $x\not=0$ [/mm] die Ableitung [mm] $f'(x)=2x\sin\bruch1x-\cos\bruch1x$. [/mm] Sie besitzt keinen Limes für [mm] $x\to0$ [/mm] und daher ist f nicht stetig differenzierbar in x=0.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Entschuldige die blöde Frage, aber... wie kommst du zu der Ableitung?
Mit Produktregel bekomme ich f'(x) = [mm] 2x*sin(x)+x^{2}*cos(x) [/mm] für [mm] x\not=0, [/mm] daher in x=0 stetig.
Uhhh hab ich hier einen Kardinalfehler? :/
|
|
|
| |
|
Hallo amai.psycho,
> Entschuldige die blöde Frage, aber... wie kommst du zu der
> Ableitung?
>
> Mit Produktregel bekomme ich f'(x) = [mm]2x*sin(x)+x^{2}*cos(x)[/mm]
> für [mm]x\not=0,[/mm] daher in x=0 stetig.
>
> Uhhh hab ich hier einen Kardinalfehler? :/
Nein, du nicht, es liegt an einem Schreibfehler 
Gemeint ist nicht die Funktion [mm] $f(x)=x^2\cdot{}\sin(x)$ [/mm] (die ist wunderbar stetig und diffbar auf ganz [mm] $\IR$), [/mm] sondern natürlich
[mm] $f(x)=x^2\cdot{}\sin\left(\red{\frac{1}{x}}\right)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Aaah alles klar! Dann funktioniert das Beispiel tatsächlich - Whohoo, dankeschön :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Do 04.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Sorry für meinen Fehler und danke an schachuzipus für die Richtigstellung!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:45 Do 04.03.2010 | | Autor: | gfm |
Man kann sich das allg. überlegen:
Wenn f diff'bar ist gilt f(x+h)=f(x)+A(x)h+g(x,h) mit [mm] g(x,h)/h\to [/mm] 0 für [mm] h\to [/mm] 0
f(x+h+k)-f(x+h)=A(x+h)k+g(x+h,k)
f(x+h)-f(x)=A(x)h+g(x,h)
Setze h=k [mm] \Rightarrow
[/mm]
f(x+2h)-f(x+h)=A(x+h)h+g(x+h,h)
f(x+h)-f(x)=A(x)h+g(x,h)
[mm] \Rightarrow
[/mm]
f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)-g(x+h,h)+g(x,h)=(A(x+h)-A(x))h
Wenn [mm] h\to [/mm] 0 dann geht die linke Seite aufgrund der Stetigkeit von f und der Existenz der Ableitung gegen null. Aber es muss nicht sein dass [mm] A(x+h)\to [/mm] A(x), weil schon [mm] h\to [/mm] 0 gilt.
LG
gfm
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die Herleitung - soweit leuchtet sie mir auch ein. Aus [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] A(x+h) folgt nicht unbedingt A(x), schlicht weil keine weitere Bedingungen an A(x) gestellt sind (außer [mm] A(x)\in \IR, [/mm] nehme ich an), die Stetigkeit mit sich bringen würden? Weil dann wäre mir die Argumentation klar :)
|
|
|
|
