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f harmonisch Realteil von: holomorph Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:10 So 02.10.2011
Autor: kushkush

Aufgabe
f in [mm] $\IC$ [/mm] harmonische Funktion [mm] \gdw [/mm] f ist Realteil einer in [mm] $\IC$ [/mm] holomorphen Funktion

Hallo,

Eindeutigkeit der holomorphen Funktion: Sei h in X holomorph mit $f=Re \ \ h$ , also gelte : $h(x,y)=f(x,y)+iv(x,y)$. Nach CauRieDGL ist dann:

                          $h'= [mm] f_{x}+iv_{x}= f_{y}-iv_{x}$ [/mm]

damit ist der Realteil der holomorphen Funktion bis auf eine Constante eindeutig. (also nur Realteil einer holomorphen Funktion gegeben)

[mm] $\Leftarrow [/mm] :  $ Sei g holomorph  mit $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ dann werden die CauRieDGL erfüllt, es gilt also  [mm] $u_{x}=v_{y}$ [/mm] und [mm] $u_{y}=-v_{x}$ [/mm] und da g 2 mal stetig differenzierbar ist folgt damit : [mm] $u_{xx}+u_{yy} [/mm] = [mm] v_{xx}-v_{yy} [/mm] = 0$, damit ist die Harmonie gezeigt.


[mm] $\Rightarrow [/mm] :$ Sei f harmonisch vorgegeben.  Setze $z := [mm] f_{y}-if_{y}$ [/mm] , dann erfüllt z in X die CauRieDGL wegen Harmonie : [mm] $f_{xx}=-f_{yy}$ [/mm] und [mm] $f_{xy}=f_{yx}$ [/mm] also ist z in X  holomorph. Sei nun [mm] i_{0} [/mm] in D ein Punkt, g die Stammfunktion von z :

                   [mm] $g(i_{0}) [/mm] = [mm] f(i_{0}) [/mm] + [mm] \int_{i_{0}}^{i}z(i)di [/mm] $

und das Integral ist wegen der holomorphie ein zusammenhängendes Gebiet. Nach dem Cauchyschen Satz ist das Integral also wegunabhängig.  g ist also holomorph und es gilt: $g'= z = [mm] f_{x}- if_{y}$. [/mm] Sei nun [mm] $f^{Re} [/mm] = Re\ \ g $. Mit der CauRieDGL folgt : $g' = [mm] f^{Re}_{x}- if^{Re}_{y}$. [/mm] Da f und [mm] f^{Re}in $i_{0}$ [/mm] gleich sind, müssen sie überall gleich sein.


Ist damit alles richtig gezeigt?

Danke für jegliche Hilfestellung.


Gruss
kushkush

        
Bezug
f harmonisch Realteil von: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:01 Mo 03.10.2011
Autor: Helbig

Hallo,
>  

> [mm]\Leftarrow : [/mm] Sei g holomorph  mit [mm]f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)[/mm]
> dann werden die CauRieDGL erfüllt, es gilt also  
> [mm]u_{x}=v_{y}[/mm] und [mm]u_{y}=-v_{x}[/mm] und da g 2 mal stetig
> differenzierbar ist folgt damit : [mm]u_{xx}+u_{yy} = v_{xx}-v_{yy} = 0[/mm],
> damit ist die Harmonie gezeigt.

Wieso folgen die beiden Gleichheitszeichen?
Aus den CRDGL folgt doch zunächst nur
[mm] $u_{xx} [/mm] + [mm] u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}$. [/mm]

zu b: Hier mußt Du doch einfach eine Funktion [mm] $\,g(z)=f(x+iy)+iv(x,y)$, [/mm] d.h. $v$, so zusammenbasteln, daß die CRDGLs gelten und $v$ stetig differenzierbar ist.
viel Erfolg,
Wolfgang

Bezug
                
Bezug
f harmonisch Realteil von: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:18 Mo 03.10.2011
Autor: kushkush

Hallo Wolfgang,


> wieso folgt Gleichheit

weil die Ableitung einer holomorphen Funktion wieder holomorph ist, das dürfen wir benutzen denke ich!

> b

das war auch mein Plan!


> Grüsse Wolfgang


Vielen Dank!!!


Gruss
kushkush

Bezug
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