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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Di 16.12.2008 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IC \to \IC [/mm] eine holomorphe Funktion, und es existiere ein c>0 mit [mm] Re(z)\ge [/mm] c für alle [mm] z\in\IC. [/mm] Zeigen Sie, dass f konstant ist.
(Hinweis: Betrachten Sie die Funktion [mm] g(z)=e^{f(z)} [/mm] |
Hallo Leute,
auf dem aktuellen Aufgabenzettel (Funktionentheorie) haben wir noch zwei weitere Aufgaben, bei denen wir zeigen sollten, dass f konstant ist.
Bei deren Lösung habe ich das Maximum- und das Minimunprinzip verwendet.
Diese helfen mir aber bei dieser Aufgabe nicht weiter. Oder?
Beim Durchsuchen im Skript habe ich auch noch diese Folgerung gefunden:
Sei [mm] G\subset\IC [/mm] und f: [mm] G\to\IC [/mm] holomorph. Wenn |f| in einem Punkt [mm] z_0\in [/mm] G ein lokales Maximum hat, so ist f konstant auf G.
Hilft mir diese Aussage weiter oder doch eher der Satz von Liouville "Jede beschränkte ganze Funktion ist konstant."?
Für Lösungstipps bin ich dankbar und vielleicht kann mir auch jemand erklären, inwieweit der Hinweis in der Aufgabe weiterhilft!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Di 16.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei f: [mm]\IC \to \IC[/mm] eine holomorphe Funktion, und es
> existiere ein c>0 mit [mm]Re(z)\ge[/mm] c für alle [mm]z\in\IC.[/mm] Zeigen
> Sie, dass f konstant ist.
>
> (Hinweis: Betrachten Sie die Funktion [mm]g(z)=e^{f(z)}[/mm]
Ich denke, es ist sinnvoller, die Funktion $h(z) = [mm] e^{-f(z)}$ [/mm] zu betrachten.
> auf dem aktuellen Aufgabenzettel (Funktionentheorie) haben
> wir noch zwei weitere Aufgaben, bei denen wir zeigen
> sollten, dass f konstant ist.
>
> Bei deren Lösung habe ich das Maximum- und das
> Minimunprinzip verwendet.
> Diese helfen mir aber bei dieser Aufgabe nicht weiter.
> Oder?
Ich denke nicht.
> Beim Durchsuchen im Skript habe ich auch noch diese
> Folgerung gefunden:
>
> Sei [mm]G\subset\IC[/mm] und f: [mm]G\to\IC[/mm] holomorph. Wenn |f| in einem
> Punkt [mm]z_0\in[/mm] G ein lokales Maximum hat, so ist f konstant
> auf G.
Ich denke auch nicht dass dir das was hilft.
> Hilft mir diese Aussage weiter oder doch eher der Satz von
> Liouville "Jede beschränkte ganze Funktion ist konstant."?
Ja. Zumindest bei der Funktion $h = [mm] \frac{1}{g}$.
[/mm]
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Mi 17.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Es ist |g(z)| = [mm] e^{Ref(z)} \ge e^c.
[/mm]
1/g ist also eine ganze Funktion und |1/g| [mm] \le e^{-c} [/mm] auf [mm] \IC.
[/mm]
Liouville liefert nun: g ist konstant. Also ist auch f konstant.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 17.12.2008 | | Autor: | cauchy |
> Es ist |g(z)| = [mm]e^{Ref(z)} \ge e^c.[/mm]
Woher weiß ich denn, dass der Betrag so aussieht?
> 1/g ist also eine ganze Funktion und |1/g| [mm]\le e^{-c}[/mm] auf
> [mm]\IC.[/mm]
Und woher weiß ich, dass 1/g dann ganz ist? Mit was für einem Satz wird das begründet?
> Liouville liefert nun: g ist konstant. Also ist auch f
> konstant.
>
Gruß, cauchy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Mi 17.12.2008 | | Autor: | cauchy |
Vielleicht habe ich auch schon selber die Lösung gefunden (zu meinem ersten Teil der Rückfrage)
Es sei f(z)=Re f(z)+Im f(z)
[mm] |e^{f(z)}| [/mm] = [mm] \wurzel{e^{f(z)} e^{\overline{f(z)}}} [/mm] = [mm] \wurzel{e^{Re f(z)+Im f(z)} e^{Re f(z) - Im f(z)}} [/mm] = [mm] \wurzel{e^{2 Re f(z)}} [/mm] = [mm] e^{Re f(z)}
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Mi 17.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Vielleicht habe ich auch schon selber die Lösung gefunden
> (zu meinem ersten Teil der Rückfrage)
>
> Es sei f(z)=Re f(z)+Im f(z)
>
> [mm]|e^{f(z)}|[/mm] = [mm]\wurzel{e^{f(z)} e^{\overline{f(z)}}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{e^{Re f(z)+Im f(z)} e^{Re f(z) - Im f(z)}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{e^{2 Re f(z)}}[/mm] = [mm]e^{Re f(z)}[/mm]
>
> Richtig?
Ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Mi 17.12.2008 | | Autor: | cauchy |
Danke:)
(Dann kann ich ja doch noch was rechnen;) )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mi 17.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Es ist |g(z)| = [mm]e^{Ref(z)} \ge e^c.[/mm]
>
> Woher weiß ich denn, dass der Betrag so aussieht?
Was weisst du ueber [mm] $e^{x + i y}$ [/mm] mit $x, y [mm] \in \IR$? [/mm] Und was weisst du ueber den Betrag davon?
> > 1/g ist also eine ganze Funktion und |1/g| [mm]\le e^{-c}[/mm] auf
> > [mm]\IC.[/mm]
>
> Und woher weiß ich, dass 1/g dann ganz ist? Mit was für
> einem Satz wird das begründet?
Weil die Verkettung holomorpher Funktionen holomorph ist. Und wenn $h$ eine holomorphe Funktion ist die keine Nullstellen hat, dann ist $1/h$ ebenfalls eine holomorphe Funktion auf dem gleichen Definitionsbereich.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Mi 17.12.2008 | | Autor: | cauchy |
Vielen Dank für die Hilfe!!
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