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Hallo liebes Forum,
whoohoo morgen ist die Analysis-Nachklausur, deshalb hab ich jetzt noch eine letzte (Verständnis-)Frage zu folgender Aufgabe:
Es sei [mm] f:[0,\infty)\to\IR [/mm] gleichmäßg stetig, so dass [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] konvergiert. Man zeige: Es gilt [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 0.
Bis jetzt hab ich so argumentiert:
f stetig, [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] f beschränkt [mm] \Rightarrow [/mm] Es existieren limsup(f) und liminf(f).
In den Fällen
limsup(f) [mm] \ge [/mm] liminf(f)> 0
liminf(f) [mm] \le [/mm] limsup(f) < 0
würde [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] divergieren, es bleibt also der Fall
limsup(f) [mm] \ge [/mm] 0 und liminf(f) [mm] \le [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] f oszilliert. Sei [mm] x_{n} [/mm] die Folge der Nullstellen von f [hier müsste ich irgendwie zeigen, dass für n gegen Unendlich [mm] x_{n} [/mm] nicht an ein x [mm] \IR [/mm] konvergiert], dann gilt:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \integral_{x_{n}}^{x_{n+1}} [/mm] {f(x) dx} ; wobei diese Reihe konvergiert [mm] \integral_{x_{n}}^{x_{n+1}} [/mm] {f(x) dx} ist also eine Nullfolge.
Von da an hatte ich nun folgende Überlegungen: Da der b)-Teil der Aufgabe u.A. darin besteht, zu zeigen, warum das Ganze für nur stetige Funktionen nicht funktioniert, etwa für f(x) = [mm] sin(x^{2}) [/mm] , müssen hier irgendwie die ganzen Fälle ausgeschlossen werden, bei denen das nicht funktionieren kann. Die erste Idee dazu kam mir bis jetzt nur über die Folge [mm] x_{n}, [/mm] und zwar [mm] a_{n} [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] - [mm] x_{n-1} [/mm] zu unterscheiden zwischen konstant, steigend, fallend, Nullfolge ab einem bestimmten N [mm] \in \IN. [/mm] Allerdings könnte selbst [mm] a_{n} [/mm] selbst oszillieren... Jedenfalls würde ich aber in allen drei Fällen darauf kommen, dass in jedem Teilintegral [mm] \integral_{x_{n}}^{x_{n+1}} [/mm] {f(x) dx} f sich an 0 annähern muss; im Falle, dass [mm] a_n [/mm] Nullfolge ist, aus Gründen der Gleichmäßigen Stetigkeit (könnte sonst ein [mm] \delta [/mm] finden, so dass zwei ausgewählte Punkte gerade auf zwei Spitzen der Funktion zeigen; da diese durch [mm] \varepsilon [/mm] klein gedrückt werden, wäre limsup(f)=liminf(f)=0).
Das Problem ist aber einerseits, dass die Folge [mm] x_{n} [/mm] auch irgendwelche verrückten Sachen machen könnte, genauso die Funktion f, denn habe ich denn hier überhaupt alle Fälle von Funktionen berücksichtigt? Durch gleichmäßige Stetigkeit fallen zwar Funktionen wie f(x) = [mm] sin(x^{2}) [/mm] weg, aber gibt es noch andere Möglichkeiten, wie sich die Funktion extrem verhalten könnte? Oder sollte ich lieber einen anderen Ansatz wählen, um bei den Fallunterscheidungen nicht ins Detail gehen zu müssen?
Würde mich freuen über Rat, auch zu späterer Uhrzeit :)
°amai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Mo 08.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Bis jetzt hab ich so argumentiert:
> f stetig, [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] konvergent
> [mm]\Rightarrow[/mm] f beschränkt [mm]\Rightarrow[/mm] Es existieren
> limsup(f) und liminf(f).
Nein, f muss unter den Vorraussetzungen nicht beschränkt sein. Es fehlt der Beweis, dass dies bei glm. stetigen sein muss.
Im Übrigen nehme ich an, dass man hier auch [m]\int_|f|<\infty[/m] gilt, da sonst der Satz falsch ist - zB ist [m]\sin(1/x)[/m] Lipschitz- und damit glm. stetig und uneigentlich int.bar.
> [mm]\Rightarrow[/mm] f oszilliert.
Das ist auch falsch, wie man an [m]\exp{x^2}[/m] sieht.
> Sei [mm]x_{n}[/mm] die Folge der
> Nullstellen von f [hier müsste ich irgendwie zeigen, dass
> für n gegen Unendlich [mm]x_{n}[/mm] nicht an ein x [mm]\IR[/mm]
> konvergiert], dann gilt:
Falls f osziliert, kannst du sie so wählen - quasi nach Def. der Folge.
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \integral_{x_{n}}^{x_{n+1}}[/mm]
> {f(x) dx} ; wobei diese Reihe konvergiert
> [mm]\integral_{x_{n}}^{x_{n+1}}[/mm] {f(x) dx} ist also eine
> Nullfolge.
Unter diesen Bedingungen ja ... und wieso geht jetzt f gegen 0?
> Von da an hatte ich nun folgende Überlegungen: Da der
> b)-Teil der Aufgabe u.A. darin besteht, zu zeigen, warum
> das Ganze für nur stetige Funktionen nicht funktioniert,
> etwa für f(x) = [mm]sin(x^{2})[/mm] , müssen hier irgendwie die
> ganzen Fälle ausgeschlossen werden, bei denen das nicht
> funktionieren kann.
???
> Die erste Idee dazu kam mir bis jetzt
> nur über die Folge [mm]x_{n},[/mm] und zwar [mm]a_{n}[/mm] = [mm]x_{n}[/mm] - [mm]x_{n-1}[/mm]
> zu unterscheiden zwischen konstant, steigend, fallend,
Die sollte immer steigend sein ...
> Nullfolge ab einem bestimmten N [mm]\in \IN.[/mm] Allerdings könnte
> selbst [mm]a_{n}[/mm] selbst oszillieren... Jedenfalls würde ich
> aber in allen drei Fällen darauf kommen, dass in jedem
> Teilintegral [mm]\integral_{x_{n}}^{x_{n+1}}[/mm] {f(x) dx} f sich
> an 0 annähern muss; im Falle, dass [mm]a_n[/mm] Nullfolge ist, aus
> Gründen der Gleichmäßigen Stetigkeit (könnte sonst ein
> [mm]\delta[/mm] finden, so dass zwei ausgewählte Punkte gerade auf
> zwei Spitzen der Funktion zeigen; da diese durch
> [mm]\varepsilon[/mm] klein gedrückt werden, wäre
> limsup(f)=liminf(f)=0).
Versteh ich nicht.
> Das Problem ist aber einerseits, dass die Folge [mm]x_{n}[/mm] auch
> irgendwelche verrückten Sachen machen könnte, genauso die
> Funktion f, denn habe ich denn hier überhaupt alle Fälle
> von Funktionen berücksichtigt? Durch gleichmäßige
> Stetigkeit fallen zwar Funktionen wie f(x) = [mm]sin(x^{2})[/mm]
> weg, aber gibt es noch andere Möglichkeiten, wie sich die
> Funktion extrem verhalten könnte? Oder sollte ich lieber
> einen anderen Ansatz wählen, um bei den
> Fallunterscheidungen nicht ins Detail gehen zu müssen?
Ein anderer Ansatz wäre besser - nimm mal an, es gibt ein a, so dass es eine nach oben unbeschränkte Menge an x gibt mit [m]|f|(x)=a[/m]. Nun kannst du |f| nach unten durch eine nicht int.bare Funktion abschätzen.
SEcki
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