f(x)+f''(x)=0 < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Mo 08.12.2008 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen [mm] f:\IC\to\IC [/mm] mit f(z)+f''(z)=0 |
Hallo liebes Mathe-Raum-Team!
Die Aufgabe sieht leicht aus, ich finde trotzdem keinen Ansatz.
Nachdem ich mein Vorlesungsskript durchgraben habe, habe ich folgenden Satz gefunden:
Sei [mm] G\subset\IC [/mm] offen, [mm] f:G\to\IC [/mm] differenzierbar. Dann ist f auf G beliebig oft differenzierbar, also insbesondere auch holomorph. Jede Ableitung (beliebiger Ordnung) von f ist wieder holomorph.
Wenn D eine Kreisscheibe mit [mm] \overline{D}\subset [/mm] G ist, gilt für beliebiges [mm] n\in\IN_0 [/mm] und beliebiges [mm] z\in [/mm] D:
[mm] f^{(n)}=\bruch{n!}{2\pi i} \int_{\partial D}{\bruch{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}}d\zeta}
[/mm]
Ich habe nun einfach n=0 nd n=2 eingesetzt und zusammengefasst.
Ist das der richtige Weg?
MfG, cauchy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Di 09.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
diese Funktionen sind von der Form
$c_1sin(z) + c_2cos(z)$
wobei [mm] c_1, c_2 \in \IC
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Di 09.12.2008 | | Autor: | cauchy |
> Tipp:
>
> diese Funktionen sind von der Form
>
> [mm]c_1sin(z) + c_2cos(z)[/mm]
>
> wobei [mm]c_1, c_2 \in \IC[/mm]
Hallo Fred,
OK, das leuchtet ein. Da erhält man dann ja auch so was feines, dass [mm] e^{iz} [/mm] die Gleichung löst, wenn [mm] c_1=i [/mm] und [mm] c_2=1 [/mm] ist.
Jetzt ist mir auch aufgefallen, dass es ich um eine DGL handelt.
Mein Problem: In meiner Analysis 3 Vorlesung letztes Jahr, sahen unsere DGLn etwas anders aus, immer der Form y'=...
Ich weiß nicht genau, wie ich diese hier lösen kann.
Und: Sind das nicht tatsächlich schon alle Lösungen?
LG, cauchy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Di 09.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > diese Funktionen sind von der Form
> >
> > [mm]c_1sin(z) + c_2cos(z)[/mm]
> >
> > wobei [mm]c_1, c_2 \in \IC[/mm]
>
>
> Hallo Fred,
>
> OK, das leuchtet ein. Da erhält man dann ja auch so was
> feines, dass [mm]e^{iz}[/mm] die Gleichung löst, wenn [mm]c_1=i[/mm] und
> [mm]c_2=1[/mm] ist.
Genau.
> Jetzt ist mir auch aufgefallen, dass es ich um eine DGL
> handelt.
:)
> Mein Problem: In meiner Analysis 3 Vorlesung letztes Jahr,
> sahen unsere DGLn etwas anders aus, immer der Form y'=...
> Ich weiß nicht genau, wie ich diese hier lösen kann.
>
> Und: Sind das nicht tatsächlich schon alle Lösungen?
Nun, eine Methode die hier funktioniert ist der Potenzreihenansatz: da jede holomorphe Funktion $f : [mm] \IC \to \IC$ [/mm] eindeutig durch eine auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] konvergente Potenzreihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ [/mm] darstellbar ist, kannst du eine solche einfach mal in die obige Gleichung einsetzen. Du erhaelst dann Bedingungen an die [mm] $a_n$, [/mm] und du wirst sehen das die Potenzreihe eindeutig durch [mm] $a_0$ [/mm] und [mm] $a_1$ [/mm] bestimmt ist (weil $f''$ und $f$ vorkommt in der DGL). Genauer wirst du [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n [/mm] = [mm] a_0 f_0(z) [/mm] + [mm] a_1 f_1(z)$ [/mm] mit holomorphen Funktionen [mm] $f_0, f_1 [/mm] : [mm] \IC \to \IC$ [/mm] herausbekommen, und diese werden eine gewisse Beziehung zu Sinus und Kosinus haben :)
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Mi 10.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Noch ein Vorschlag:
1. Klar dürfte sein : ganze Funktionen der Form
$ c_1sin(z) + c_2cos(z) $
leisten das Verlangte.
2. Sei f eine ganze Funktion mit f+f'' = 0.
Bezeichne mit g die Einschränkung von f auf [mm] \IR. [/mm] Dann gilt: g+g'' = 0 auf [mm] \IR.
[/mm]
Das ist eine homogene lineare DGL 2. Ordnung. Aus der Annalysis 3 ist Dir sicher bekannt, dass g von der Form
g(x) = $ c_1sin(x) + c_2cos(x) $
ist.
Wir haben also: f(x) = $ c_1sin(x) + c_2cos(x)$ für x [mm] \in \IR
[/mm]
Der Identitätssatz für holomorhe Fktn. lirfert nun:
f(z) = $ c_1sin(z) + c_2cos(z)$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Do 11.12.2008 | | Autor: | cauchy |
Vielen Dank dafür, eigentlich war die Aufgabe ja auch gar nicht schwer;)
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