f(x)=x^3 lnx monoton fallend für... < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 So 25.07.2004 | | Autor: | MatzeL |
moinmoin!
hab letzte woche meine analysis-klausur geschrieben und im nachhinein ein frage. (auch wenn's leider schon zu spät ist)
eine aufgabe war:
Für welche Werte von x ist die Funktion [mm] f(x)=x^3 [/mm] lnx monoton fallend.
Ich hatte mir überlegt, [mm] x^3 [/mm] steigt monoton, lnx auch, also wird das Produkt auch monoton steigen, f(x) also keinesfalls monoton fallen.
Leider war das, wie ich nun weiß, falsch, laut Lösung fällt f(x) für alle x<1/e
Kann mir das vielleicht bitte einer erklären?
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
p.s.: sorry wegen der schreibweise, aber irgendwie krieg ich das nicht anders hin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:20 Mo 26.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo MatzeL!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Für welche Werte von x ist die Funktion [mm]f(x)=x^3[/mm] lnx
> monoton fallend.
> Ich hatte mir überlegt, [mm]x^3[/mm] steigt monoton, lnx auch, also
> wird das Produkt auch monoton steigen, f(x) also
> keinesfalls monoton fallen.
Das stimmt soweit auch -- allerdings nur, falls die beteiligten Funktionswerte positiv sind.
Ein einfaches Beispiel ist f(x)=x und g(x)=x. Beide Funktionen sind monoton steigend, ihr Produkt aber nicht.
> Leider war das, wie ich nun weiß, falsch, laut Lösung
> fällt f(x) für alle x<1/e
> Kann mir das vielleicht bitte einer erklären?
Wir können also schon mal sagen, dass [mm] x^3*\ln(x) [/mm] für x>1 monoton steigend ist, da dort beide Funktionen positiv sind. Was aber für x<1 passiert, muß separat untersucht werden.
Die Monotonie einer Funktion kann ja an der ersten Ableitung abgelesen werden:
[mm] $f'(x_0)>0$ $\Rightarrow$ [/mm] f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] (bzw. in einer Umgebung von [mm] $x_0$) [/mm] monoton wachsend
[mm] $f'(x_0)<0$ $\Rightarrow$ [/mm] f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] monoton fallend
Die erste Ableitung von [mm] $f(x)=x^3*\ln [/mm] x$ lautet:
[mm] $f'(x)=3x^2*\ln x+x^3*\bruch{1}{x}=x^2*\left( 3\ln x+1\right)$
[/mm]
Wir suchen die Stellen, für die [mm] $f'(x_0)<0$ [/mm] gilt (übrigens ist [mm] $x_0>0$):
[/mm]
[mm] $f'(x_0)<0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x^2*\left( 3\ln x+1\right)<0$ [/mm] | [mm] $x^2$ [/mm] ist positiv im Definitionsbereich
[mm] $\gdw$ $3\ln [/mm] x+1<0$
[mm] $\gdw$ $\ln x<-\bruch{1}{3}$ [/mm] | [mm] $e^{\ldots}$, $\exp(\ldots)$ [/mm] ist monoton steigend, erhält also die Ungleichung
[mm] $\gdw$ $x
[mm] $\gdw$ $x<\bruch{1}{e^{\bruch{1}{3}}}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x<\bruch{1}{\wurzel[3]{e}}=\wurzel[3]{\bruch{1}{e}}$
[/mm]
Also ist deine andere Lösung auch falsch...
Hier noch ein ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:43 Mo 26.07.2004 | | Autor: | MatzeL |
wow, wenn das mal nicht ne schnelle und auch noch gute antwort war, besten dank!
dass allerdings die andere lösung nicht stimmte ist ein ding, denn das war immerhin die lösung, die mein mathe-prof online gestellt hat. bin mal sehr gespannt, was er dazu sagt!
besten dank nochmal!
matthias
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