f(x,y)=1/x+y integrierbar < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Fr 10.10.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | | Man zeige, dass die Funktion f: [mm] (0,1)^2 \subset \IR^{2} \to \IR, f(x,y):=\bruch{1}{x+y} [/mm] integrierbar ist, und berechne das Integral. |
Hallo,
blöde Frage: Aber wie zeige ich die Integrierbarkeit???
Kann jemand mal überprüfen, ob das Integral Null ist?
Viele liebe Grüße kiri
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> Man zeige, dass die Funktion f: [mm](0,1)^2 \subset \IR^{2} \to \IR, f(x,y):=\bruch{1}{x+y}[/mm]
> integrierbar ist, und berechne das Integral.
> Hallo,
> blöde Frage: Aber wie zeige ich die Integrierbarkeit???
>
> Kann jemand mal überprüfen, ob das Integral Null ist?
>
> Viele liebe Grüße kiri
hallo kiri,
1.) Das einzige Problem könnte im Bereich sehr kleiner x und y
liegen.
2.) Das Integral ist bestimmt nicht Null, da der Integrand für
alle erlaubten (x,y) positiv ist
3.) Um die Integrierbarkeit nachzuweisen, gilt es, die Integration
wirklich durchzuführen:
[mm] \integral_{0}^{1}\left(\integral_{0}^{1}\bruch{1}{x+y}\ dx\right)dy\ [/mm] = .......
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Fr 10.10.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
reicht es denn für die Begrüdung zur Integrierbarkeit deine Argumenation unter 2.)?
Wenn ich das Integral berechne (nach Fubini), muss ich aber immer ln0 ausrechnen!?
Liebe Grüße
kiri
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Hallo!
Du musst nicht [mm] \ln(0) [/mm] ausrechnen, sondern den Grenzwert, den dein Term für [mm] y\to [/mm] 0 annimmt! Und nur wenn dieser GW existiert (und du ihn berechnen kannst), ist die Funktion "integrierbar".
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x+y} dx} dy}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{\left[\ln(x+y)\right]_{x = 0}^{x = 1} dy}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{\ln(1+y) - \ln(y) dy}
[/mm]
= [mm] \left[(1+y)*\ln(1+y) - (1+y) - (y*\ln(y) - y)\right]_{y=0}^{y=1}
[/mm]
= [mm] \left[(1+y)*\ln(1+y) - 1- y - y*\ln(y) + y\right]_{y=0}^{y=1}
[/mm]
= [mm] \left[(1+y)*\ln(1+y) - y*\ln(y) - 1\right]_{y=0}^{y=1}
[/mm]
(Die -1 am Ende könnte man auch weglassen)
Und nun siehst du ja, dass du 0 nicht ohne weiteres einsetzen kannst, weil dann dein [mm] y*\ln(y) [/mm] nicht mehr mitspielt. Dann musst du immer auf den Grenzwert ausweichen!
Berechne also
[mm] \underbrace{2*\ln(2) - 1}_{ObereGrenzeEingesetzt} [/mm] - [mm] \limes_{y\rightarrow 0}\left((1+y)*\ln(1+y) - y*\ln(y) - 1\right)
[/mm]
Viel Spaß 
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Fr 10.10.2008 | | Autor: | kiri111 |
Ist der besagte Grenzwert -1??
Liebe Grüße
kiri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
Du integrierst doch auf dem Intervall [mm] (0,1)^2, [/mm] wie kann denn da dein Integral jemals negativ werden?
Vielleicht hat sich auch steppenhahn bei seinen Umformungen verrechnet, ich hab es nicht nachgeprüft.
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> Ist der besagte Grenzwert -1??
Mein Ergebnis für das Integral ist [mm] 2*ln(2)\approx [/mm] 1.3863
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Sa 11.10.2008 | | Autor: | kiri111 |
Aber wie weise ich nach, dass der Grenzwert 1 ist?
Viele liebe grüße kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Sa 11.10.2008 | | Autor: | Blech |
[mm] $\lim_{y\to 0} y\ln(y)=\lim_{y\to 0} \frac{\ln y}{\frac{1}{y}}$
[/mm]
Jetzt l'Hospital.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Sa 11.10.2008 | | Autor: | kiri111 |
Ach, wundbar. Vielen Dank!!
kiri
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> Hallo,
> reicht es denn für die Begrüdung zur Integrierbarkeit
> deine Argumenation unter 2.)?
>
> Wenn ich das Integral berechne (nach Fubini), muss ich aber
> immer ln0 ausrechnen!?
>
> Liebe Grüße
> kiri
In meinem Punkt 2.) ging es gar nicht um die Integrierbarkeit
an sich, sondern nur darum, dass der Wert des Integrals (falls
er denn überhaupt existieren sollte) sicher nicht Null sein kann.
Die Integrierbarkeit habe ich unter Punkt 3.) angesprochen, und
da geht es, wie steppenhahn schon erläutert hat, natürlich um
"uneigentliche" Integrale und damit um Grenzwerte.
LG Al
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