formulierungen wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 So 28.12.2008 | | Autor: | relation |
in der literatur bin ich auf verschiedene formulierungen für das wurzelkriterium gestoßen:
die reihe [mm] \summe a_n [/mm] konvergiert, wenn:
[mm] 1.-lim\wurzel[n]{|a_n|} [/mm] <1
2.-lim [mm] sup\wurzel[n]{|a_n|} [/mm] < 1
3.-fast immer [mm] \wurzel[n]{|a_n|}\le [/mm] q < 1
sind nun all diese aussagen äquivalent? wo liegt der jeweilige vorteil/nutzen der einzelnen formulierungen? besonders den unterschied zwischen 1. und 2. verstehe ich nicht! warum muss ich manchmal lim betrachten und dann wieder limsup? existiert limsup überhaupt immer??
vielen dank schon mal für jede erklärung....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 So 28.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> in der literatur bin ich auf verschiedene formulierungen
> für das wurzelkriterium gestoßen:
>
> die reihe [mm]\summe a_n[/mm] konvergiert, wenn:
>
> 1. [mm] $\lim\wurzel[n]{|a_n|}<1$
[/mm]
>
> 2. [mm] $\limsup\wurzel[n]{|a_n|} [/mm] < 1$
>
> 3. fast immer [mm] $\wurzel[n]{|a_n|}\le [/mm] q < 1$
>
> sind nun all diese aussagen äquivalent? wo liegt der
> jeweilige vorteil/nutzen der einzelnen formulierungen?
> besonders den unterschied zwischen 1. und 2. verstehe ich
> nicht! warum muss ich manchmal lim betrachten und dann
> wieder limsup? existiert limsup überhaupt immer??
Zweitens und drittens sind äquivalent. Aus erstens folgt zweitens, denn existiert der Limes, dann existiert auch der Limes Superior und ist gleich dem Limes.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 So 28.12.2008 | | Autor: | relation |
aber wozu die unterscheidung in zwei formulierungen- mit lim und mit limsup??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 So 28.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Die [mm] $\limsup$ [/mm] formulierung ist einfach besser (erfasst mehr Reihen), aber manche mögen die wohl nicht...
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