frobeniushomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Di 24.11.2009 | | Autor: | nueppi |
hallo zusammen,
ich hab ein problem mit dem frobeniushomomorphismus.
es gilt ja:
f(r)= [mm] r^p [/mm] und [mm] f(r+t)=(r+t)^p= r^p+t^p [/mm] und der zwischenteil fällt weg. und da liegt mein problem.bei wikipedia habe ich gelesen:
"Da p eine Primzahl ist, teilt p zwar p! aber nicht q! für q < p. Da die Charakteristik p deshalb den Zähler, aber nicht den Nenner der Binomialkoeffizienten teilt, verschwinden die Binomialkoeffizienten" und wieso ist das so? hatte überlegt weil der zähler eine 1 und p im produkt hat und es gilt ja für die charakteristik p*1=0 und dass daraus dann folgt, dass der zähler null wird, aber irgendwie gefällt mir die erklärung nicht so.
wäre um jede hilfe dankbar.
liebe grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Di 24.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich hab ein problem mit dem frobeniushomomorphismus.
> es gilt ja:
> f(r)= [mm]r^p[/mm] und [mm]f(r+t)=(r+t)^p= r^p+t^p[/mm] und der zwischenteil
> fällt weg. und da liegt mein problem.bei wikipedia habe
> ich gelesen:
> "Da p eine Primzahl ist, teilt p zwar p! aber nicht q!
> für q < p. Da die Charakteristik p deshalb den Zähler,
> aber nicht den Nenner der Binomialkoeffizienten teilt,
> verschwinden die Binomialkoeffizienten" und wieso ist das
> so?
Was genau an der Aussage ist unklar? Du weisst schon, dass eine Primzahl ein Produkt teilt, wenn es bereits einen der Faktoren teilt?
Damit also $p$ ein Teiler von $q!$ ist, muss $q [mm] \ge [/mm] p$ sein: alle Zahlen $1, 2, [mm] \dots, [/mm] p - 1$ koennen nicht durch $p$ geteilt werden.
Und dann weisst du noch: $q! (p - q)!$ und $p$ sind teilerfremd, und beide teilen $p!$. (Dass $q! (p - q)!$ ein Teiler von $p!$ ist folgt aus [mm] $\binom{p}{q} \in \IN$.) [/mm] Daraus folgt, dass $q! (p - q)! p$ auch $p!$ teilt: und daraus folgt dann, dass $p$ ein Teiler von [mm] $\binom{p}{q} [/mm] = [mm] \frac{p!}{q! (p - q)!}$ [/mm] ist.
> hatte überlegt weil der zähler eine 1 und p im
> produkt hat und es gilt ja für die charakteristik p*1=0
> und dass daraus dann folgt, dass der zähler null wird,
> aber irgendwie gefällt mir die erklärung nicht so.
So geht das auch. Im Zaehler kommt $p = 0$ vor, im Nenner dagegen nur $1, [mm] \dots, [/mm] p - 1$: und das sind alles Elemente [mm] $\neq [/mm] 0$ im Koerper.
LG Felix
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