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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Fr 14.12.2007 | | Autor: | Pompeius |
| Aufgabe | Sei f ∈ R[X] und f = 0. Zeigen Sie:
(i) Ist z ∈ C eine Nullstelle von f , dann ist auch die konjugiert komplexe Zahl von z eine Nullstelle von f .
(ii) Es ist f = f1 ·. . . · fr mit fi ∈ R[X] und grad fi ≤ 2 für i = 1, . . . , r.
(Hinweis: Benutzen Sie (i) und den Fundamentalsatz der Algebra bei (ii).) |
hey leute!
also mir gehts um den zweiten teil (ii). ich weiß echt nicht wie ich das machen soll ..
der erste teil der aufgabe ist klar und den fundamentalsatz der algebra kenn ich auch aber wie soll ich das anwenden ?
ich seh da gerade nicht so viele zusammenhänge ..
es ist für jetzt auch schwer einen lösungsansatz zu posten ..
gefunden hab ich sowas :
[mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k}* z^{k }=a_{n}*\produkt_{i=1}^{n} (z-z_{i})
[/mm]
aber ich weiß halt nicht ob und wie man damit weiter kommt ..
danke schon mal für die hilfe....
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Hallo!
Der Fundamentalsatz sagt aus, dass jedes nicht konstante Polynom eine Nullstelle in [mm] \IC [/mm] besitzt. Daraus schliesst man z.B. das ein reelles Polynom mit Grad n genau n komplexe (inkl. reelle) Nullstellen hat.
Jetzt muss man unterscheiden:
a) Ein reelles Polynom p(x) hat eine reelle Nullstelle a, d.h. du kannst die Nullstelle (x-a) aus p(x) ausklammern. Der Grad wäre dann 1.
b) Ein reelles Polynom p(x) hat zwei komplexe Nullstellen b und [mm] \overline{b} [/mm] , denn du weisst aus (i), dass das b konjugiert auch eine Nullstelle ist. Jetzt multipliziere die zwei Linearfaktoren dieser Nullstellen, d.h. [mm] (x-b)(x-\overline{b}). [/mm] Das ergibt eine reelles Polynom von Grad 2...
Fazit??
SChöne Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Fr 14.12.2007 | | Autor: | Pompeius |
| Aufgabe | Sei f ∈ R[X] und f = 0. Zeigen Sie:
(i) Ist z ∈ C eine Nullstelle von f , dann ist auch die konjugiert komplexe Zahl von z eine Nullstelle von f .
(ii) Es ist f = f1 ·. . . · fr mit fi ∈ R[X] und grad fi ≤ 2 für i = 1, . . . , r.
(Hinweis: Benutzen Sie (i) und den Fundamentalsatz der Algebra bei (ii).) |
hi danke für die antwort !
also wenn ich das jetzt irgendwie richtig nachvollziehe, dann sind so zu sagen die einzelnen linearfaktoren vom grad [mm] \le [/mm] 2 .. (reelle Nullstellen, komplexe Nullstellen)
da steht ja: f= [mm] f_{1}*...*f_{r}
[/mm]
da es zu jeder komplexen nullstelle auch eine konjugiert komplexe nullstelle gibt, bekommt man immer: [mm] (x-b)(x-\overline{b)}
[/mm]
und wenn man das umformt kommt man auf ein reelles polynom vom grad 2 ...
das würd auch passen zu : f= [mm] f_{1}*...*f_{r} [/mm] mit [mm] f_{i} \in \IR[X]
[/mm]
die linearfaktoren bestehen also aus polynomen vom grad 1 (reelle nullstellen) und vom grad 2 ( komplexe und konjugiert komplexe nullstelle) ??
oder ist das jetzt nicht korrekt ?? ..
wär schön wenn sich das jemand mal ansieht ! danke schon mal ...
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Hey Pompeius!
>
> die linearfaktoren bestehen also aus polynomen vom grad 1
> (reelle nullstellen) und vom grad 2 ( komplexe und
> konjugiert komplexe nullstelle) ??
> oder ist das jetzt nicht korrekt ?? ..
>
Genau so ist es. Also kann man ein reelles Polynom in Linearfaktoren aufspalten, die entweder Grad 1 oder 2 haben!
Tschüss
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