funktion rektifizierbar < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Mo 09.06.2008 | | Autor: | xMariex |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm]f:[0;1]->\IR^2[/mm] definiert durch
[mm]f(t)=\begin{cases}(t, tsin\bruch{\pi}{t}), & \mbox{für } n\in (0;1] \\ 0, & \mbox{für } t=0 \end{cases}[/mm]
eine Kurve im [mm]\IR^2[/mm] ist, die aber nicht retifizierbar ist. |
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Hi,
ich hab keine Ahnung wie man zeigt das etwas eine Kurve ist, klar eine Kurve im R² ist eine Funktion aber reicht es zu zeigen das sie eindeutig ist, ich meine kann ja dann auch eine Gerade sein?
Oder muss ich zeigen dass sie eindeutig ist und ein Extrema besitzt, weil mit einem Extrema kann es keine Gerade sein.
Oder kann ich notfalls auch sagen auch eine Gerade ist im gewissen mas eine Kurve, dann reicht ja die eindeutigkeit der Funktion.
Aber was wenn das ganze eine Spirale ist, dann ist es ja nicht mehr eindeutig, also reicht es nicht aus zu zeigen das das ganze eine Funktion ist.
zum rektivizieren hab ich folgendes gemacht:
Es gilt: [mm]L(\gamma)=sup_zL(Z)=\integral_{a}^{b}{||x(t)|| dt} = \integral_{a}^{b}{\sqrt{x_1^2(t)+...+x_n^2(t)}dt}[/mm]
Dann hab ich mir eine Tabelle gemacht und hab erstmal ein paar x ausgerechnet: (Ist ein bisschen schlecht hierreinzu schreiben ich hab halt drei Spalten eine mit [mm] x_n [/mm] eine mit dem t und eine mit dem ausgerechneten Wert, die Reihenfolge ist hier die gleiche)
[mm]x_1=0=0)[/mm]
[mm]x_2=0.2=0.2sin(5\pi)[/mm]
[mm]x_3=0.4=0.4sin(\frac{5}{2}\pi)[/mm]
[mm]x_4=0.6=0.6sin(\frac{5}{3}\pi)[/mm]
[mm]x_5=0.8=0.8sin(\frac{5}{4}\pi)[/mm]
[mm]x_6=1=sin(\pi)[/mm]
dann bekomm ichj folgendes Integral:
[mm]\integral_{0}^{1}{\sqrt{0 + (0.2sin(5\pi))^2 + (0.4sin(\frac{5}{2}\pi))^2 + (0.6sin(\frac{5}{3}\pi))^2 + (0.8sin(\frac{5}{4}\pi))^2 + (sin(\pi))^2}dt}[/mm]
Ich hoffe ja noch darauf etwas falsch verstanden zu haben, den das zu integrieren wäre echt 'ne Menge arbeit.
Grüße,
Marie
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:53 Di 10.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Marie,
> Zeigen Sie, dass [mm]f:[0;1]->\IR^2[/mm] definiert durch
> [mm]f(t)=\begin{cases}(t, tsin\bruch{\pi}{t}), & \mbox{für } n\in (0;1] \\ 0, & \mbox{für } t=0 \end{cases}[/mm]
>
> eine Kurve im [mm]\IR^2[/mm] ist, die aber nicht retifizierbar ist.
> Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite
> gestellt.
>
> Hi,
> ich hab keine Ahnung wie man zeigt das etwas eine Kurve
> ist, klar eine Kurve im R² ist eine Funktion aber reicht es
> zu zeigen das sie eindeutig ist, ich meine kann ja dann
> auch eine Gerade sein?
> Oder muss ich zeigen dass sie eindeutig ist und ein
> Extrema besitzt, weil mit einem Extrema kann es keine
> Gerade sein.
> Oder kann ich notfalls auch sagen auch eine Gerade ist im
> gewissen mas eine Kurve, dann reicht ja die eindeutigkeit
> der Funktion.
> Aber was wenn das ganze eine Spirale ist, dann ist es ja
> nicht mehr eindeutig, also reicht es nicht aus zu zeigen
> das das ganze eine Funktion ist.
>
> zum rektivizieren hab ich folgendes gemacht:
> Es gilt: [mm]L(\gamma)=sup_zL(Z)=\integral_{a}^{b}{||x(t)|| dt} = \integral_{a}^{b}{\sqrt{x_1^2(t)+...+x_n^2(t)}dt}[/mm]
>
> Dann hab ich mir eine Tabelle gemacht und hab erstmal ein
> paar x ausgerechnet: (Ist ein bisschen schlecht hierreinzu
> schreiben ich hab halt drei Spalten eine mit [mm]x_n[/mm] eine mit
> dem t und eine mit dem ausgerechneten Wert, die Reihenfolge
> ist hier die gleiche)
> [mm]x_1=0=0)[/mm]
> [mm]x_2=0.2=0.2sin(5\pi)[/mm]
> [mm]x_3=0.4=0.4sin(\frac{5}{2}\pi)[/mm]
> [mm]x_4=0.6=0.6sin(\frac{5}{3}\pi)[/mm]
> [mm]x_5=0.8=0.8sin(\frac{5}{4}\pi)[/mm]
> [mm]x_6=1=sin(\pi)[/mm]
> dann bekomm ichj folgendes Integral:
> [mm]\red{\integral_{0}^{1}{\sqrt{0 + (0.2sin(5\pi))^2 + (0.4sin(\frac{5}{2}\pi))^2 + (0.6sin(\frac{5}{3}\pi))^2 + (0.8sin(\frac{5}{4}\pi))^2 + (sin(\pi))^2}dt}}[/mm]
>
> Ich hoffe ja noch darauf etwas falsch verstanden zu haben,
> den das zu integrieren wäre echt 'ne Menge arbeit.
Du hast da einiges falsch verstanden bzw. wirfst einiges durcheinander. Ich finde es nun eigentlich unsinnig, Dir alle die Fehler hier aufzuzeigen, da ich das Gefühl habe, dass Dir die Begriffe unklar sind:
Ich kenne die Definition, dass eine Kurve das Bild einer stetigen Abbildung ist (vgl. ![[]](/images/popup.gif) Skript, Definition 26.8.2).
Ihr habt aber sicher eine andere Definition des Begriffes Kurve zugrundeliegen, nämlich wahrscheinlich diese, die man hier auf Seite 28, Kapitel 4 findet.
Damit:
Um zu zeigen, dass
[mm]f:[0;1] \to \IR^2[/mm] definiert durch
[mm]f(t)=\begin{cases}\left(t, t*\sin\bruch{\pi}{t}\right), & \mbox{für } \blue{t}\in (0;1] \\ \blue{(0,0)}, & \mbox{für } t=0 \end{cases}[/mm]
eine Kurve im [mm] $\IR^2$ [/mm] ist, genügt es, sich die Stetigkeit von $f$ klarzumachen. Diese ist klar auf $(0,1]$, die (rechtsseitige) Stetigkeit von $f$ in [mm] $t_0=0$ [/mm] ist noch zu begründen.
(Dazu genügt es dann wiederum, sich klarzumachen, dass $t [mm] \mapsto [/mm] t* [mm] \sin\left(\frac{\pi}{t}\right)$ [/mm] (rechtsseitig) stetig in [mm] $t_0=0$ [/mm] ist, wenn man den Funktionswert an der Stelle [mm] $t_0=0$ [/mm] auf $0$ setzt.)
Das oben rotmarkierte Integral wäre übrigens sehr banal, da dort eigentlich [mm] $\int_0^1 \mbox{const}\; [/mm] dt$ (mit einer von $t$ unabhängigen Konstanten [mm] $\mbox{const}$) [/mm] steht, was sich zu [mm] $\int_0^1 \mbox{const}\;dt=\mbox{const}$ [/mm] berechnen würde. Leider hat das rotmarkierte Integral nun aber überhaupt nichts mit $L(f)$ zu tun...
Es ist Dir offensichtlich nicht klar, was die Länge einer Kurve ist (und oben ist zu zeigen, dass $f$ keine endliche Länge hat). Schau Dir erstmal hier das Beispiel 4.1 (1) an und mach' Dir damit erstmal die ganzen Begriffe klar.
Wenn Du nun aufpasst, dass in diesem SkriptEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
anstatt des Begriffes Weg bei Euch der Begriff Kurve zu benutzen ist, so besagt Satz 26.13, dass es hier genügt, nachzuweisen, dass die Abbildung $f_2: [0,1] \to \IR$ definiert durch
$f_2(t):=t*\sin\left(\frac{\pi}{t}\right)$ ($0 < t \le 1$) und $f_2(0):=0$
nicht von beschränkter Schwankung ist. Dazu kann man (vermutlich) für $n \in \IN$ die
$t_n=\frac{2}{2n+1}$
betrachten.
Den im obigen letztgenannten Skript erwähnten Satz 26.15 (und das ist das, was Du oben auch tun wolltest) kannst Du leider nicht verwenden, da $f_2(t)=t*\sin\left(\frac{\pi}{t}\right)$ leider nicht stetig differenzierbar ist ($f_2$ ist zwar stetig, $f_2$ ist aber in $t_0=0$ schon nicht differenzierbar).
Was Du aber machen kannst, um zu zeigen, dass Deine oben genannte Kurve nicht rektifizierbar ist (also keine endliche Länge hat):
Für $N \in \IN}$ setzen wir $t_0:=0$ und $t_{N+1}:=1$ sowie $t_{N+1-k}:=\frac{2}{3+(k-1)*2}$ ($k=1,\,...,\,N$)
(Beispiel:
Für $N=7$ gilt:
$t_0=0$, $t_1=t_{8-7}=\frac{2}{3+6*2}=\frac{2}{15}$, $t_2=\frac{2}{13}$, ..., $t_6=t_{8-2}=\frac{2}{5}$, $t_7=\frac{2}{3}$, $t_8=1$.)
Somit erhält man für festes $N \in \IN$ dann $N+2$ reelle Zahlen $t_0=0 < t_1 < ... < t_N < t_{N+1}=1$, die das Intervall $[0,1]$ zerlegen, wir schreiben $Z_N=\{t_0,\,...,\,t_{N+1}\}$.
Nun berechne damit
$L_{Z_N (f)}=\sum_{n=1}^{N+1} \|f(t_n)-f(t_{n-1})\|$
Damit sollte es möglich sein, zu zeigen:
$\lim_{N \to \infty} L_{Z_n(f)}=\infty$
Und wegen $L(f)=\sup\{L_Z(f):\;Z\mbox{ Zerlegung von } [0,1]\}$ folgt dann $L(f) \ge L_{Z_N(f)}$ für alle $N \in \IN$, und mit $N \to \infty$ folgt daraus dann, dass $f$ nicht rektifizierbar ist.
Beachte dabei aber bitte:
$\|f(t_n)-f(t_{n-1})\|$ ist die euklidische Länge des $\IR^2$-Elementes $f(t_n)-f(t_{n-1})$. So gilt z.B.
$\|f(2/3)-f(2/5)\|=\left\|\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}*\sin{\frac{\pi}{\frac{2}{3}}}\right)-\left(\frac{2}{5}, \frac{2}{5}*\sin{\frac{\pi}{\frac{2}{5}}}\right)\right\|=\left\|\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{5},\,-\frac{2}{3} -\frac{2}{5}\right)\right\|=\sqrt{\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{5}\right)^2+\left(-\frac{2}{3}-\frac{2}{5}\right)^2}$
Und wenn man nun hinguckt, dass damit dann:
$\|f(2/3)-f(2/5)\| \ge \frac{2}{3}+\frac{2}{5}$ gilt, so sollte man auf die Idee kommen, wie man mit obiger Zerlegung $Z_N$ dann eine geeignete Abschätzung für $L_{Z_N}(f)$ angeben kann, die $L_{Z_N}(f) \to \infty$ bei $N \to \infty$ begründet.
( Vielleicht noch ein weiterer Hinweis:
$\|f(2/3)-f(2/5)\|+\|f(2/5)-f(2/7)\| \ge \frac{2}{3}+\frac{2}{5}+\frac{2}{5}+\frac{2}{7} \ge 2*\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)$. )
Das ist so die Basis für eine Grundidee, man muss eigentlich nicht viel weiterdenken, um zu erkennen, was das ganze hier im Endeffekt mit der (gegen $\infty$ konvergierenden) Reihe $2*\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k+1}$ zu tun haben wird. Es ist im Prinzip nur noch (formales) Aufschreiben, und wie die Abschätzung laufen wird (wenn man den Satz 26.13 vermeiden will und direkt über die Definition der Weglänge geht), habe ich oben schon angedeutet.
P.S.:
Zur Klärung des Begriffes der Rektifizierbarkeit kannst Du auch hier mal hereingucken:
http://www.uni-duisburg.de/FB11/STAFF/ROGGE/Analysis_pdf/Ana39.pdf
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
