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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Sa 22.04.2006 | | Autor: | julie |
| Aufgabe | | Aus S=[-1,1] betrachte man die Funktionenfolge (fn)n , fn(x)= [mm] x(1-x^2)^n. [/mm] Untersuche diese Folge und die Folge (f`n)n auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. |
hallo
also ich hab mich mal an der Aufgabe versucht aber ich weiß nciht ob ich das alles schon so verstanden hab!
also
Zunächst untersuche ich mal die Funktion von fn(x) auf punktweise Konvergenz:
Dabei geht die Grenzfunktion bei n-> unendlich bei jedem x ( ob x=1, 0<x<1, -1<x<0 und x=-1) gegen null
also f(x)=0 und jetzt kann ich doch schon sagen, das fn(x) punktweise konvergiert oder?
Da puntweise konvergenz nicht die gleichmäßige konvergenz impliziert, betrachte ich nun diese:
da weiß ich aber garnicht so wirklich wie ich das machen soll!ich hab das so verstanden, dass ich nun gucke ob | [mm] x(1-x^2)^n| [/mm] bei n-> unendlich gegen null geht! warum, weiß ich nicht, aber das nehm ich einfach mal so hin 
und meiner meinung nach, geht sie gegen null,weil egal ob ich x=1, 0<x<1, -1<x<0 oder x=-1 habe, geht die Funktion gegen 0! nur mache ich jetzt nicht genau das gleich wie schon oben?
wie muss ich das mit der gleichmäßigen konvergenz machen??
Zum 2. teil der aufgabe: muss ich einfach die Ableitung bilden und dann das selbe machen wie oben? Sieht die Ableitung so aus? (das mit dem n hat mich nämlich ein weing irritiert) :
(f'n)n= [mm] (1-x^2)^n-n(1-x^2)^{n-1}*2x^2
[/mm]
freue mich über jede antwort,..brauche nämlich echt hilfe vielen dank schonmal
vlg
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt
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Hallo julie,
deine lösung sieht doch soweit schon ganz gut aus! 
zunächst mal konvergiert die folge punktweise gegen die nullfunktion, das hast du schon richtig begründet. allerdings reicht deine begründung für gleichmäßige konvergenz wohl noch nicht. du musst zeigen dass [mm] $|x(1-x^2)^n|\to [/mm] 0$,richtig, aber unabhängig von $x$! Für solche abschätzungen gibt es kein patentrezept, ich würde es hier vielleicht so probieren: es gilt [mm] $f_n(-1)=f_n(0)=f_n(1)=0$ [/mm] für alle $n$.
Sowohl zwischen -1 und 0, als auch zwischen 0 und 1, muss [mm] $f_n$ [/mm] also extremwerte annehmen, minima oder maxima. wenn du diese berechnest, normal über die ableitung, hast du eine saubere abschätzung für den obigen term, unabhängig von $x$.
Zur zweiten aufgabe: deine ableitung sieht richtig aus, beachte, dass die funktionenfolge im nullpunkt nicht mehr den wert null annimmt!
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 So 23.04.2006 | | Autor: | julie |
hallo
erstmal danke für deine antwort! das freut mcih das ich das schonmal richtig gemacht hab! habe das auch nun versucht mit der ableiteung,..ich komme aber schon bei der nullstellen berechnung der ableitung nicht klar..kann man die ableitung irgetnwie vereinfachen? ich bekomm das nicht hin *schäm* und wenn ich dann die nullstellen habe? was muss ich dann machen? also mit dem abschätzen verstehe ich, aber ich hab doch dann keine funktion oder? und ich muss doch mit einer funktion abschätzen? danke für die gedult,..ich bin ein schwieriger fall!
vlg
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Hallo julie,
die ableitung hast du ja schon ausgerechnet:
[mm] $f_n'(x)= (1-x^2)^n-n(1-x^2)^{n-1}\cdot{}2x^2 [/mm] $
Du kannst nun ausklammern und erhältst:
[mm] $f_n'(x)= (1-x^2)^{n-1}((1-x^2)-n\cdot{}2x^2) =(1-x^2)^{n-1}(1-(2n+1)x^2)$
[/mm]
Ein produkt ist bekanntlich genau dann $0$, wenn einer der faktoren $0$ ist. Also kannst du jetzt die nullstellen eigentlich schon ablesen....
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Mo 24.04.2006 | | Autor: | julie |
mmh,..ok, also dann bekomme ich einmal x= [mm] \pm1 [/mm] und x= [mm] \wurzel{1/(2n+1)}
[/mm]
mmh, aber so wirklich weiß ich immer noch nicht was ich jetzt damit machen muss :-( dieses n irritiert mich total! je größer n ja jetzt wird,desto näher rücken die Extremstellen an die Null,..ok, soweit so gut!aber wie schätze ich denn jetzt meine Funktion ab? Ich sage [mm] x(1-x^2)^n [/mm] < [mm] \wurzel{1/(2n+1)}*(1-(1/(2n+1)))^n [/mm] ?? es tut mir leid :-( aber ich komm echt nicht weiter..
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Hallo,
> mmh,..ok, also dann bekomme ich einmal x= [mm]\pm1[/mm] und x=
> [mm]\wurzel{1/(2n+1)}[/mm]
Nicht ganz: auch die wurzel ist [mm] $\pm$....
[/mm]
> mmh, aber so wirklich weiß ich immer noch nicht was ich
> jetzt damit machen muss :-( dieses n irritiert mich total!
> je größer n ja jetzt wird,desto näher rücken die
> Extremstellen an die Null,..ok, soweit so gut!aber wie
> schätze ich denn jetzt meine Funktion ab? Ich sage
> [mm]x(1-x^2)^n[/mm] < [mm]\wurzel{1/(2n+1)}*(1-(1/(2n+1)))^n[/mm] ??
Fast, wie wäre es mit
[mm] $|x(1-x^2)^n| \le \wurzel{1/(2n+1)}*(1-(1/(2n+1)))^n$
[/mm]
denn auf der rechten seite steht der betrag der extrema, maximum und minimum. der zweite faktor geht gegen $1$, der erste gegen $0$, also.....
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 24.04.2006 | | Autor: | julie |
ach so,...juhuu ich glaub jetzt hab ich das verstanden!vielen dank für deine hilfe und deine gedult =)
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