g-adische darstellung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Fr 06.04.2007 | | Autor: | dbzworld |
| Aufgabe | Sei g [mm] \in \IN [/mm] mit g>1, man nennt
[mm] \summe_{k=0}^{inf}akg^{-k}
[/mm]
die g-adische Darstellung der reellen Zahl x, wenn x= [mm] \summe_{k=0}^{inf}akg^{-k}
[/mm]
a) Schreiben Sie [mm] \bruch{3}{4} [/mm] als g-adische Zahl f¨ur g = 3, g = 4 und g = 5.
b)Zeigen Sie, dass jedes x mit g-adischer Darstellung im Intervall [0, 1) liegt.
c)Beweisen Sie [mm] \summe_{k=n+1}^{inf}(g-1)g^{-k}=g^{-n} [/mm] |
so zu a) habe ich folgende Frage, adische darstellung ist ja ein stellentwertsystem und ich soll jetzt 3/4 für g=3,4,5 darstellen aber das ist doch nicht machbar, z.B. für 4 ist ja, [mm] 0*4^0+1*4^1..usw.. [/mm] aber wie soll ich denn 0,75 erzeugen?? und bei 3 wird es ja periodisch..
zu b) habe ich die Idee das es ja so sein muss da man als Faktor immer 0 oder 1 hat, oder ist es anders?
zu c) habe ich leider keine Idee.
bedanke mich für die Antworten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Fr 06.04.2007 | | Autor: | wauwau |
x= [mm] \summe_{k=0}^{inf}a_{k}g^{-k}
[/mm]
> a) Schreiben Sie [mm]\bruch{3}{4}[/mm] als g-adische Zahl f¨ur g =
> 3, g = 4 und g = 5.
also es gilt einmal nach geometrische Reihe - Summenformel:
[mm] \summe_{k=0}^{inf}g^{-k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{g}} [/mm] = [mm] \bruch{g}{g-1}
[/mm]
Wenn also alle [mm] a_{k} [/mm] = a konstant sind
ist x also
[mm] \bruch{ag}{g-1}
[/mm]
hetzt musst du nur mehr für g=3,4,5 a so wählen, dass eben [mm] \bruch{3}{4} [/mm] rauskommt.
> b)Zeigen Sie, dass jedes x mit g-adischer Darstellung im
> Intervall [0, 1) liegt.
ich glaube das stimmt so nicht...
> c)Beweisen Sie [mm]\summe_{k=n+1}^{inf}(g-1)g^{-k}=g^{-n}[/mm]
[mm] \summe_{k=n+1}^{inf}(g-1)g^{-k} [/mm] = [mm] (g-1)*g^{-(n+1)}*Summe [/mm] der geom Reihe = gewünschtes Ergebnis.
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Es muss sicherlich [mm] a_{k} [/mm] statt ak heißen, wobei die [mm] a_{k} [/mm] natürliche Zahlen aus {0|1|---|k-1} sind. 3/4 ist also im 2-adischen System so zu sehen:
3/4=1/2+1/4 = [mm] 1*2^{-1}+1*2^{-2}
[/mm]
oder als Kommazahl: 0,110000000000000000000000..
im 3-adischen System:
3/4= 2/3+1/12
= 2/3+2/27 +1/108
= 2/3+2/27 +2/243 +1/972 usw.
oder als Kommazahl: 0,2020202020202...
usw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Sa 07.04.2007 | | Autor: | dbzworld |
wie erhälst du jeweils die 1/12, 1/108? und warum kommen die 1er nicht mehr in der Dezimallösung vor?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 So 08.04.2007 | | Autor: | dbzworld |
keiner ne idee?
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Du sollst die 3/4 als Summe von Dritteln, Neunteln, Siebenzwanzigsteln usw. schreiben, nämlich als
[mm] a_{1}/3+a_{2}/3^{2}+a_{3}/3^{3}+a_{4}/3^{4}+a_{5}/3^{5}+...
[/mm]
Dabei sind die [mm] a_{k} [/mm] aus {0|1|2}.
Also stellst du fest, wie oft 1/3 in 3/4 steckt: 2 mal.
Jetzt schreibst du: 3/4=2/3+Rest und berechnest den Rest, indem du von 3/4 die 2/3 abziehst. Das gibt 1/12. Somit:
3/4=2/3+1/12
Jetzt schaust du, wie oft 1/9 in 1/12 steckt: 0 mal.
Jetzt schaust du, wie oft 1/27 in 1/12 steckt: 2 mal.
Also ist 1/12=2/27 + Rest.
Rest= 1/12-2/27=1/108.
Also ist 1/12=2/27 + 1/108 und damit
3/4=2/3+2/27 + 1/108.
...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Mo 09.04.2007 | | Autor: | dbzworld |
ok, ist dann 3/4 bei g=4, ->0,30000000000000.....?
und g=5, -> 0,330188....??
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Das erste stimmt, das zweite gibt 0,33333333... (vermutlich Rechenfehler, die Nenner heißen 5,25,125,625...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Di 10.04.2007 | | Autor: | dbzworld |
ja sicher ... ok vielen lieben dank, alles verstanden!
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Hier noch mal ein handgeschriebener Rechenvorgang, an dem man sehen kann, wie einfach man in anderen Zahlensystemen eine Kommazahl ausrechnen kann:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: TIF) [nicht öffentlich]
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![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
Was genau meinst du?? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
