g o f injektiv, f surjektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Sa 22.10.2005 | | Autor: | t_irgang |
Hallo,
ich komme mit einer Angabe nicht klar.
gegeben ist: f:X [mm] \to [/mm] Y, g:Y [mm] \to [/mm] Z
Die Angabe lautet:
Man zeige:
g [mm] \circ [/mm] f injektiv, f surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] g injektiv
Nun zu meiner Frage:
Wenn g [mm] \circ [/mm] f injektiv ist, wie kann dann f surjektiv sein ?
Ich denke g [mm] \circ [/mm] f injektiv bedeutet dass es zu jedem x [mm] \in [/mm] X nur ein z [mm] \in [/mm] Z gibt. Wenn f surjektiv ist, ist f nicht injektiv da f sonst bijektiv wäre, also folgt es gibt [mm] x_{1} \not= x_{2} [/mm] für die f( [mm] x_{1} [/mm] ) = f( [mm] x_{2}). [/mm] Daraus folgt aber, da g jedem y ein eindeutiges z zuordent, dass es [mm] x_{1} \not= x_{2} [/mm] gibt für die gilt g [mm] \circ [/mm] f, was ja g(f(x)) bedeutet, g [mm] \circ [/mm] f( [mm] x_{1} [/mm] ) = g [mm] \circ [/mm] f( [mm] x_{2} [/mm] ). Wo liegt mein Denkfelher ? Vielen Dank an alle die versuchen diesen Gedankenablauf nachzuvollziehen.
MFG
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt, da ich sonst kein Matheforum kenne, das das selbe Nivau aufweisen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Thomas!
> Ich denke g $ [mm] \circ [/mm] $ f injektiv bedeutet dass es zu jedem x $ [mm] \in [/mm] $ X nur ein z $ [mm] \in [/mm] $ Z gibt.
Vielleicht meinst du das richtige, aber es muss genau umgekehrt lauten: es gibt zu jedem [mm] $z\in [/mm] Z$ höchstens ein [mm] $x\in [/mm] X$, sodass [mm] $(g\circ [/mm] f)(x)=z$ ist. Surjektivität bedeutet, dass es mindestens ein solches $x$ gibt.
> Wenn f surjektiv ist, ist f nicht injektiv da f sonst bijektiv wäre
Genau hier liegt dein Denkfehler. Weshalb kann die Abbildung $f$ nicht bijektiv sein? Sie darf es sehr wohl, z.B. kann ich zwei beliebige bijektive Abbildungen $f,g$ verketten, ihr Kompositum [mm] $g\circ [/mm] f$ ist dann auch eine bijektive, insbesondere also injektive Abbildung, für die $f$ bijektiv ist.
> ... also folgt es gibt $ [mm] x_{1} \not= x_{2} [/mm] $ für die f( $ [mm] x_{1} [/mm] $ ) = f( $ [mm] x_{2}). [/mm] $ Daraus folgt aber, da g jedem y ein eindeutiges z zuordent, dass es $ [mm] x_{1} \not= x_{2} [/mm] $ gibt für die gilt g $ [mm] \circ [/mm] $ f, was ja g(f(x)) bedeutet, g $ [mm] \circ [/mm] $ f( $ [mm] x_{1} [/mm] $ ) = g $ [mm] \circ [/mm] $ f( $ [mm] x_{2} [/mm] $ ). Wo liegt mein Denkfelher ? Vielen Dank an alle die versuchen diesen Gedankenablauf nachzuvollziehen.
Genau, das ist richtig und sehr wichtig, dass du es bemerkst. Was du hiermit gezeigt hast, ist nämlich folgendes: ist das Kompositum [mm] $g\circ [/mm] f$ zweier Abbildungen [mm] $f:X\to [/mm] Y, [mm] g:Y\to [/mm] Z$ injektiv, so muss $f$ injektiv sein. Den Beweis hast du selbst erbracht. Wenn es nämlich zwei [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] gäbe, dann wäre erstrecht [mm] $g(f(x_1))=g(f(x_2))$, [/mm] also [mm] $g\circ [/mm] f$ nicht injektiv - Widerspruch.
Ebenso wichtig ist die folgende Implikation: ist [mm] $g\circ [/mm] f$ surjektiv, so muss $g$ surjektiv sein. Auch das kannst du dir leicht überlegen. Ist [mm] $z\in [/mm] Z$ beliebig gewählt, dann gibt es ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit [mm] $(g\circ [/mm] f)(x)=z$, also $g(f(x))=z$, also ist $f(x)$ Urbild von $z$ in $g$, d.h. $g$ ist surjektiv.
Diese beiden Implikationen solltest du stets im Hinterkopf haben. Nun aber zu deinem Problem. Sei also [mm] $g\circ [/mm] f$ injektiv und $f$ surjektiv. Nehmen wir an, es seien [mm] $y_1,y_2\in [/mm] Y$ mit [mm] $g(y_1)=g(y_2)$. [/mm] Da $f$ surjektiv ist, gibt es nun [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_1)=y_1$ [/mm] und [mm] $f(x_2)=y_2$. [/mm] Dann aber ist [mm] $g(f(x_1))=g(y_1)=g(y_2)=g(f(x_2))$, [/mm] woraus wegen der Injektivität von [mm] $g\circ [/mm] f$ sofort [mm] $x_1=x_2$, [/mm] also [mm] $y_1=f(x_1)=f(x_2)=y_2$ [/mm] folgt; also ist $g$ injektiv. Allgemein kannst du sagen, dass $g$ genau "auf f(X)" injektiv sein muss; ich meine damit, dass es keine [mm] $y_1,y_2\in Y\cap [/mm] f(X)$ mit [mm] $y_1\neq y_2$ [/mm] und [mm] $g(y_1)=g(y_2)$ [/mm] geben darf. Liegen [mm] $y_1,y_2$ [/mm] nicht in $f(X)$, so kann durchaus [mm] $g(y_1)=g(y_2)$ [/mm] gelten - dies spielt für die Fragen nach der Injektivität von [mm] $g\circ [/mm] f$ keine Rolle.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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