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moin,
Ich bastel gerade für eine Hausaufgabe ein wenig mit Galois'schen Körpererweiterungen rum und dabei ist mir etwas untergekommen, was ich mal ganz dreist in einer Vermutung formuliere:
| Aufgabe | | Sei $K$ ein Körper, $f [mm] \in [/mm] K[x]$ separabel mit Faktorisierung $f = g*h$, [mm] $L_g$ [/mm] der Zerfällungskörper von $g$ über $K$ mit Galoisgruppe $G$, [mm] $L_h$ [/mm] der Zerfällungskörper von $h$ über [mm] $L_g$ [/mm] mit Galoisgruppe $H$ sowie [mm] $L_f$ [/mm] der Zerfällungskörper von $f$ über $K$ mit Galoisgruppe $F$. Dann gilt [mm] $L_f \cong L_h$ [/mm] sowie $F [mm] \cong [/mm] G [mm] \times [/mm] H$. |
Ich habe leider weder diesen Satz noch etwas, was auch nur annähernd in diese Richtung geht, in meinem Skript, aber da es in einem Beispiel genau so funktioniert hat und doch etwas sehr schönes wäre frag ich einfach mal die Experten, in wie weit dieser Satz gilt.
Danke schonmal für Antworten.
lg
Schadow
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Fr 09.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich bastel gerade für eine Hausaufgabe ein wenig mit
> Galois'schen Körpererweiterungen rum und dabei ist mir
> etwas untergekommen, was ich mal ganz dreist in einer
> Vermutung formuliere:
>
> Sei [mm]K[/mm] ein Körper, [mm]f \in K[x][/mm] separabel mit Faktorisierung
> [mm]f = g*h[/mm], [mm]L_g[/mm] der Zerfällungskörper von [mm]g[/mm] über [mm]K[/mm] mit
> Galoisgruppe [mm]G[/mm], [mm]L_h[/mm] der Zerfällungskörper von [mm]h[/mm] über [mm]L_g[/mm]
> mit Galoisgruppe [mm]H[/mm] sowie [mm]L_f[/mm] der Zerfällungskörper von [mm]f[/mm]
> über [mm]K[/mm] mit Galoisgruppe [mm]F[/mm]. Dann gilt [mm]L_f \cong L_h[/mm] sowie [mm]F \cong G \times H[/mm].
>
>
> Ich habe leider weder diesen Satz noch etwas, was auch nur
> annähernd in diese Richtung geht, in meinem Skript, aber
> da es in einem Beispiel genau so funktioniert hat und doch
> etwas sehr schönes wäre frag ich einfach mal die
> Experten, in wie weit dieser Satz gilt.
Hmm, ich denke nicht sehr weit. Also das [mm] $L_f [/mm] = [mm] L_h$ [/mm] ist (im fest gewaehlten alg. Abschluss) und damit [mm] $L_f [/mm] = [mm] L_h$ [/mm] ist recht einfach. Der Rest aber nicht, und ich denke dass er i.A. falsch ist.
Allgemein gilt: du hast eine exakte kurze Sequenz $0 [mm] \to Gal(L_h [/mm] / [mm] L_g) \to Gal(L_h [/mm] / K) [mm] \to Gal(L_g [/mm] / K) [mm] \to [/mm] 0$: die erste Abbildung ist die Inklusion (da $K [mm] \subseteq L_g$ [/mm] gilt), die zweite die Einschraenkung von [mm] $\varphi [/mm] : [mm] L_h \to L_h$ [/mm] auf [mm] $L_g$ [/mm] (da [mm] $L_g [/mm] / K$ normal ist wird [mm] $L_g$ [/mm] von [mm] $\varphi$ [/mm] auf sich selber abgebildet, womit die Einschraenkung eine Abbildung [mm] $L_g \to L_g$ [/mm] ist).
Wenn die Gruppen einfach genug sind -- etwa [mm] $Gal(L_h [/mm] / K)$ ist abelsch und die Ordnungen der anderen beiden Galoisgruppen sind teilerfremd zueinander -- folgt sofort deine Aussage aus allgemeinen algebraischen Betrachungen.
Genauso kannst du aber auch Gegenbeispiele finden, wo es eben schiefgeht: dazu nimmst du irgendeine exakte Sequenz von Gruppen, die nicht spaltet. Diese kannst du immer in dieser Form von Galoisgruppen schreiben (das ist ein schweres Resultat, also glaub nicht dass du das einfach so beweisen kannst :) Du musst zu einer Gruppe eine Erweiterung von [mm] $\IQ$ [/mm] finden mit der passenden Galoisgruppe).
LG Felix
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Hmm, schade.
Die meisten Begriffe, die du da verwendest, sagen mir noch nicht sonderlich viel, außer dass das Kapitel über Gruppentheorie in meiner momentanen Algebravorlesung sicher Spaß machen wird.^^
In meinem Beispiel war $F [mm] \cong S_3 \times C_3$, [/mm] ich glaube das fällt noch unter "ausreichend einfach".
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Sa 10.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hmm, schade.
> Die meisten Begriffe, die du da verwendest, sagen mir noch
> nicht sonderlich viel,
Das mit der kurzen exakten Sequenz bedeutet uebersetzt so viel wie:
[mm] $Gal(L_h [/mm] / [mm] L_g)$ [/mm] ist ein Normalteiler in [mm] $Gal(L_h [/mm] / K)$ (genauergesagt: [mm] $Gal(L_h/L_g)$ [/mm] ist die Untergruppe von [mm] $Gal(L_h [/mm] / K)$, welche [mm] $L_g$ [/mm] festhaelt -- nach dem Hauptsatz der Galoistheorie entspricht sie dem Zwischenkoerper [mm] $L_g$ [/mm] von [mm] $L_h [/mm] / K$)
und der Quotient [mm] $Gal(L_h [/mm] / L) / [mm] Gal(L_h [/mm] / [mm] L_g)$ [/mm] ist isomorph zu [mm] $Gal(L_g [/mm] / K)$, wobei der Isomorphismus durch $varphi [mm] Gal(L_h [/mm] / [mm] L_g) \mapsto \varphi|_{L_g}$ [/mm] gegeben ist (warum die Einschraenkung wohldefiniert ist siehe das alte Posting).
Ich hoffe es ist so etwas verstaendlicher 
> außer dass das Kapitel über
> Gruppentheorie in meiner momentanen Algebravorlesung sicher
> Spaß machen wird.^^
Gruppentheorie ist manchmal sehr muehsam, aber kommt immer wieder etwas vor, wie z.B. hier 
> In meinem Beispiel war [mm]F \cong S_3 \times C_3[/mm], ich glaube
> das fällt noch unter "ausreichend einfach".
Ja, da kann das durchaus noch gehen. Es kann aber auch genausogut schief gehen :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:35 Mo 12.11.2012 | | Autor: | hippias |
Muesste $g= [mm] t^{4}+1$ [/mm] und [mm] $h=t^{2}+1$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] nicht ein Gegenbeispielzu Deiner Vermutung ueber das direkte Produkt sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Mo 12.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Muesste [mm]g= t^{4}+1[/mm] und [mm]h=t^{2}+1[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm] nicht ein
> Gegenbeispielzu Deiner Vermutung ueber das direkte Produkt
> sein?
Ich denke du musst die Polynome vertauschen, da zuerst der Zerfaellungskoerper von $g$ betrachtet wird und darueber der Zerfaellungskoerper von $h$ (welcher in diesem Fall trivial ist, da $h$ dort bereits spaltet).
Aber wenn man zuerst $h$ nimmt hat man [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] als Galoisgruppe, und die naechste Erweiterung hat wieder [mm] $\IZ/2\IZ$, [/mm] und die Gesamterweiterung ist mit [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] nicht das Produkt der beiden [mm] $\IZ/2\IZ$.
[/mm]
Bei deiner Wahl von $g$ und $h$ hat man dafuer die kurze exakte Sequenz $0 [mm] \to \IZ/2\IZ \to \IZ/4\IZ \to \IZ/2\IZ \to [/mm] 0$, wobei [mm] $\IZ/4\IZ \to \IZ/2\IZ \cong 2\IZ/4\IZ$ [/mm] die Multiplikation mit 2 ist.
LG Felix
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