gammaverteilte ZVe < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | gesucht: Erwartungswert und Varianz einer gammaverteilten ZVen. |
Hallo,
Die Gammaverteilung ist ja definiert durch die Dichte (r >0, [mm] \lambda>0)
[/mm]
f(x):= [mm] \frac{\lambda^r}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambdax} 1_{[0,\infty)}(x), [/mm] wobei [mm] \Gamma(t) [/mm] = [mm] \int_0^{\infty} x^{t-1} e^{-x} [/mm] dx, t>0.
In einem Buch hab ich nun gefunden, dass E[X]= [mm] \frac{r}{\lambda} [/mm] und Var(X) = [mm] \frac{r}{\lambda^2} [/mm] gilt. Hab versucht das nachzurechnen, steht leider der Weg nicht dabei, aber ich komm nicht weiter damit:
E[X] = [mm] \int_{\infty}^{\infty} [/mm] x f(x) dx = [mm] \int_0^{\infty} [/mm] x [mm] \frac{\lambda^r}{r \Gamma(r-1)} x^{r-1} e^{-\lambda x} [/mm] dx
= [mm] \frac{\lambda^r}{r \Gamma(r-1)} \int_0^{\infty} [/mm] x [mm] x^{r-1} e^{-\lambda x} [/mm] dx
und [mm] \Gamma(r-1) [/mm] = [mm] \int_0^{\infty} x^{r-1} e^{-x} [/mm] dx
aber wie kann ich denn ein integral durch ein anderes "teilen" ...??
wär super, wenn ihr einen Tip habt, wie ich weiterkomm...
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Fr 27.04.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm]E[X] = \int_{\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_0^{\infty} x \frac{\lambda^r}{r \Gamma(r-1)} x^{r-1} e^{-\lambda x} dx
= \frac{\lambda^r}{r \Gamma(r-1)} \int_0^{\infty} x^{r} e^{-\lambda x} dx [/mm]
substitution [mm] y=\lambda*x [/mm] und die Rekursion für die Gamma Funktion liefern das gewünschte ergebnis...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Riley |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe, den Erwartungswert hab ich tatsächlich herausbekommen!*freu*
nur bei der Varianz hab ich noch etwas falsch gemacht- bekomm Null heraus.
Es gilt doch [mm] Var(X)=E[X^2] [/mm] - [mm] (E[X])^2
[/mm]
und für [mm] E[X^2] [/mm] = [mm] \int_0^{\infty}x^2 f_X(x) [/mm] dx = [mm] \frac{ \lambda^r}{\Gamma(r)} \int_0^{\infty} x^{r+1} e^{-\lambda x} [/mm] dx
jetzt hab ich wieder substituiert wie du gesagt hast:
[mm] \frac{1}{\Gamma(r) \lambda^2 } \int_0^{\infty} y^{r+1} e^{-y} [/mm] dy = [mm] \frac{1}{\Gamma(r) \lambda^2 }\Gamma(r+2) [/mm] = [mm] \frac{1}{\Gamma(r) \lambda^2 } r^2 \Gamma(r) [/mm] = [mm] \frac{r^2}{\lambda^2} [/mm]
und das kann ja irgendwie nicht sein...??
was hab ich falsch gemacht?
edit: noch eine Frage, warum ist die Exponentialverteilung für r=0 ein Spezialfall der Gammaverteilung?
f(x) = [mm] \frac{\lambda}{\Gamma(1)} x^{1-1} e^{-\lambda x} 1_{[0, \infty)}(x) [/mm] = [mm] \frac{\lambda}{\Gamma(1)} e^{-\lambda x} 1_{[0,\infty)} [/mm] ... ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Fr 27.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Spezialfall für r=1 in deinem Falle....
[mm] \Gamma(r+2) [/mm] ist aber nicht [mm] r^2*\Gamma(r)!!!!!
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Riley |
ops, danke für die korrektur, ja [mm] \Gamma(r+2) [/mm] sollte man berechnen können... hab jetzt das richtige raus.
nur den spezialfall versteh ich noch nicht. hatte mich verschrieben, hab ja auch r=1 eingesetzt, aber ich seh darin noch keine exponentialverteilung...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Sa 28.04.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Riley,
wo ist das Problem? [mm] $\Gamma(1)=1$...
[/mm]
lg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:29 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Riley |
Guten Morgen Luis,
oh, manchmal ist man echt blind... danke - jetzt seh ichs auch! 
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:30 Sa 08.12.2007 | | Autor: | steefes |
sorry wenn die frage jetzt vllt etwas doof ist aber wie kann ich denn gamma(b+2) in abhängigkeit von Gamma(b) schreiben.....steig da noch ned so ganz durch...
danke und greetz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Sa 08.12.2007 | | Autor: | steefes |
hat sich schon erledigt danke.....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Sa 08.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> hat sich schon erledigt danke.....
Solche Fragen sind mir immer die liebsten... 
lg Luis
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