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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Mark7 |
| Aufgabe | Aufgabe 1:
Für jedes t (Element: R) ist Kt das Schaubild der Funktion: ft(x) = 1/2(x + [mm] t)^2 [/mm] (2 - x)
1.) Ordnen Sie jeder Kurve einen t-Wert zu.
2.) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung: [mm] 1/2(x+1)^2 [/mm] (2-x) < 0
3.) G ist das Schaubild von g mit g(x)= -1/2 x + 1. Untersuchen Sie, für welche Werte von t es genau zwei Schnittpunkte gibt.
Aufgabe 2:
Die Abbildung zeigt das Schaubild K der Funktion f mit f(x) = ax(x + b)(x +c)
a.) Bestimmen Sie a,b, und c.
b.) Der Punkt P (.../4) liegt auf K. Bestimmen Sie die x-Koordinate so genau wie möglich. Beschrieben Sie, wie man zu einem vorgegeben y-Wert die zugehörigen Argument bestimmen kann.
c.) Für welche Werte von k, k ungleich 0, schneidet die Parabel G von g mit g(x) = kx(x-4) das Schaubild K in genau zwei Punkten?
Aufgabe 3:
Gegeben ist die Funktion ft durch ft(x) = [mm] 1/2x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - [mm] t^2/2x [/mm] + [mm] t^2
[/mm]
Bestätigen Sie, dass 2 eine Nullstelle von ft ist. Berechnen Sie alle weiteren Nullstellen. Für welche Werte von t gibt es nur 2 Nullstellen?
Aufgabe 4: Für jedes t > 0 ist das Schaubild Kt von der Funktion ft gegeben durch ft(x) = [mm] 1/t^2 x^4 [/mm] - [mm] x^2
[/mm]
a.) Begründen Sie, ob Kt symmetrisch ist und berechnen Sie die Schnittpunklte der x-Achse von Kt.
b.) Zeichen Sie K2 und K3. Beschrieben Sie den Einfluss des Parameters t auf das Schaubild. Geben Sie die Gemeinsamkeiten aller Kt an.
c.) Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von Kt und der Parabel [mm] y=x^2 [/mm] + [mm] 3t^2 [/mm] in Abhängigkeit von t. Für welchen Wert von t ist S(.../1,5) ein Schnittpunkt?
d.) Für welche Werte von x verläuft Kt oberhalb der x-Achse? |
Hallo,
wir schreiben am Montag eine Mathearbeit und ich bräuchte dringend Hilfe zum Verständnis zu unserem Thema "ganzrationale Funktionen".
Die Themen dafür sind:
1.) Nullstellen-Methoden (Horner-Schema, Null setzen, P.Q.-Formel, ausklammern, Wurzel ziehen.)
2.) Allgemeine Form des 3., 4. und 5. Grades
3.) Entscheiden ob Schaubild symmetrisch ist (Begründung dafür)
4.) Wie sieht ein Schaubild des 3. oder 4. Grades aus? (wie viele Nullstellen? minus unendlich? u.s.w.)
5.) Bedeutung: dreifache, zweifache, einfache NST, Vielfachheit der NST.
Mein Problem ist, dass ich die verschiedenen Rechenvorgänge (z.B. Hornerschema, Null setzen, P.Q.-Formel) eigentlich alle relativ beherrsche und auch berechnen könnte, ABER ich verstehe nie die Verbindung, bzw. den Zusammenhang dazu.
Ich bräuchte also dringend irgendwelche SIGNALWÖRTER, bei denen es "Klick" macht, welchen Rechenvorgang ich wählen muss. Weil ansonsten sitze ich immer in der Arbeit, könnte die Rechnung zwar rechnen, aber kapiere gar nicht, welche Rechnung nun gefragt ist.
Ich habe die typischen Aufgabenstellungen oben angegeben und wäre wirklich für jede Hilfe dankbar.
Ich habe wirklich versucht, die Aufgaben zu rechnen, aber mir fehlt jeglicher Lösungsansatz, weil mir die Signalwörter fehlen und ich an jeder Teilaufgabe viel zu lange brauche. Das darf bei der Arbeit nicht mehr passieren.
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=412689
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 So 28.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mark und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Gar nicht so einfach, dir da weiterzuhelfen! Das klingt danach, als könnte persönliche Nachhilfe hilfreich sein. Die kann dieses Forum sicherlich nicht ersetzen.
Zu deiner Frage nach Signalwörtern: Grundsätzlich ist es häufig kaum möglich, Aufgaben nur anhand von Signalwörtern erfassen. Bei den genannten Aufgaben fallen mir dennoch folgende Signalwörter auf (die jedoch auch immer nur einen Teilaspekt dessen, was in der Aufgabe gefordert ist, beschreiben):
Bei den Aufgaben 1 3.), 2 c.) und 4 c.): "Schnittpunkte".
Bei Aufgabe 3: "Nullstellen"
Bei Aufgabe 4 a.): "symmetrisch"/"Symmetrie"
Bei Aufgabe 4 b.): "Zeichnen"
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 So 28.02.2010 | | Autor: | Mark7 |
Hallo tobi,
vielen Dank für deine Antwort. Habe mir schon gedacht, dass sie zu ungenau ist. Wollte auch nicht so dreist klingen, dass ich will das man mir etwas vorrechnet. Ich sitze jetzt seit 16.00 Uhr an den Aufgaben und bin immer noch total planlos.
Zu Aufgabe 1:
a.) Dort soll man ja jeder Kurve auf dem Schaubild (ist auf dem Blatt gezeichnet), einen t-Wert zufügen.
Mein Ansatz: Ich habe die Gleichung in den GTR eingegeben und dort eben "rumexperimentiert" (also Zahlen für "x" gesucht). Ich bin recht schnell auf die richtigen Werte gekommen, aber es kann doch nicht der Sinn sein, dass ich rumrate.
2.) Die Lösungsmenge bestimmen --> hier weiß ich noch nicht mal genau, was das Ziel sein soll.
3.) Schnittpunkte: Im Grunde genommen muss ich für viele Aufgaben nur einen Fragentyp verstehen: "Für welchen Wert von "t"...?"
Was genau bedeutet das? Woher weiß ich, was ich rechnen muss, um den Wert für "t" rauszurkriegen, damit es genau 2 SP gibt?
Aufgabe 2:
a.) a, b und c bestimmen: Hier ist ein Schaubild gezeichnet. Mein Ansatz wäre es dort einen Punkt herauszusuchen und dann würde mir nur die Punktprobe einfallen. Aber auch hier wüsste ich nicht, wie ich davon auf die Werte für a, b und c kommen soll.
b.) okay... da ist sogar Totalausfall.
c.) Ich denke mal, man muss die Nullstellen berechnen... aber das würde ja auch nicht gehen, weil es heißt k ungleich 0...
Aufgabe 3:
Hab ich mehr oder weniger verstanden.
Aufgabe 4.)
Die Symmetrie zu beschreiben ist kein Problem. Aber dann die SP mit der x-Achse sind wieder problematisch... ich habe als Lösung raus: x1: (-t/0) und x2 (t/0), aber das ist doch viel zu ungenau, oder?
2.) Okay, wenigstens eine Aufgabe, die ich total kapiert habe... gleichstellen, auflösen, zeichnen und Gemeinsamkeiten aufzählen.
c.) Gleichsetzen... okay, aber weiter komme ich da nicht.
d.) Da kapiere ich auch nicht den Ansatz, weil ja nach dem x-Wert gefragt ist. Aber ich weiß weder t noch x und deswegen, fällt mir kein Rechenweg ein.
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Ich hoffe, ich rege keinen mit meiner dummen Fragestellung auf. Das ist auch eher ein Hilferuf, irgendwelche groben Hilfslinien zu bekommen wie z.B. "Wenn das gefragt ist, musst du das machen" o.ä.
Wäre wenigstens froh, wenn's mit allen Mitteln noch für ne 4 reicht.
Nochmals vielen Dank. Auch das so freundlich auf meine wirre Frage reagiert wurde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 So 28.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Auf Lösungsansätze können wir natürlich gut eingehen! Leider habe ich nicht die Zeit, dir alles ausführlich zu erklären.
> Zu Aufgabe 1:
>
> a.) Dort soll man ja jeder Kurve auf dem Schaubild (ist auf
> dem Blatt gezeichnet), einen t-Wert zufügen.
>
> Mein Ansatz: Ich habe die Gleichung in den GTR eingegeben
> und dort eben "rumexperimentiert" (also Zahlen für "x"
> gesucht). Ich bin recht schnell auf die richtigen Werte
> gekommen, aber es kann doch nicht der Sinn sein, dass ich
> rumrate.
Auch eine Strategie, die zum Ergebnis führen kann! Ich weiß nicht, ob dieses Vorgehen bei euch eine Begründung ersetzen kann.
Wie lauten die Nullstellen von [mm] $f_t$? [/mm] Das kann man sofort an der Funktionsvorschrift ablesen. Vergleiche die Nullstellen von [mm] $f_t$ [/mm] mit denen der Graphen in deinen Schaubildern. Für welche(s) t passt das zusammen?
> 2.) Die Lösungsmenge bestimmen --> hier weiß ich noch
> nicht mal genau, was das Ziel sein soll.
Gesucht sind alle Zahlen x, für die die Ungleichung stimmt.
Vielleicht ist dir aufgefallen, dass diese Ungleichung etwas mit den [mm] $f_t$ [/mm] zu tun hat: Auf der linken Seite der Ungleichung steht [mm] $f_1(x)$ ($f_t(x)$ [/mm] mit $t=1$)! Die Frage ist also: An welchen Stellen x gilt [mm] $f_1(x)<0$? [/mm] Wo verläuft der Graph von [mm] $f_1(x)$ [/mm] also unterhalb der x-Achse?
> 3.) Schnittpunkte: Im Grunde genommen muss ich für viele
> Aufgaben nur einen Fragentyp verstehen: "Für welchen Wert
> von "t"...?"
>
> Was genau bedeutet das? Woher weiß ich, was ich rechnen
> muss, um den Wert für "t" rauszurkriegen, damit es genau 2
> SP gibt?
Rechnen wir doch zunächst die Schnittpunkte aus! Dann können wir gucken, für welche Werte von t wir genau zwei erhalten haben.
> Aufgabe 2:
>
> a.) a, b und c bestimmen: Hier ist ein Schaubild
> gezeichnet. Mein Ansatz wäre es dort einen Punkt
> herauszusuchen und dann würde mir nur die Punktprobe
> einfallen. Aber auch hier wüsste ich nicht, wie ich davon
> auf die Werte für a, b und c kommen soll.
Grundsätzlich eine gute Idee! Sicherlich müsste man dazu mehrere Punkte des Graphen einsetzen, so dass man mehrere Gleichungen erhielte. Aber das Gleichungssystem erscheint mir hier zu kompliziert zu sein, um es vernünftig lösen zu können.
Wieder hilft ein Vergleich der Nullstellen des Graphen des Schaubildes und der Nullstellen von f, um b und c bestimmen. Dann würde ich mit der Punktprobe a bestimmen.
> b.) okay... da ist sogar Totalausfall.
Nennen wir die x-Koordinate von P mal (sinnigerweise) x. Also ist x gesucht. Was bedeutet eigentlich, dass P(x,4) auf dem Graphen von f liegt? Es bedeutet, dass $f(x)=4$ gilt. Gesucht ist also das x mit $ax(x + b)(x +c)=4$ (wobei du die Werte von a, b und c ja nach a) dann kennst).
> c.) Ich denke mal, man muss die Nullstellen berechnen...
> aber das würde ja auch nicht gehen, weil es heißt k
> ungleich 0...
Hier ist gar nicht nach Nullstellen gefragt. Ganz grob geht es irgendwie darum, in welchen Punkten sich die Graphen G und K (also die Graphen von g und f) schneiden. Es geht also um Schnittpunkte! Wenn man die bestimmt hat, ist wieder die Frage, für welche k hat man genau zwei erhalten?
Wäre nach Nullstellen gefragt, so ginge es darum, die Zahlen x zu bestimmen, für die $g(x)=0$ gilt. Ob k Null sein kann oder nicht, hat damit nichts zu tun.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:28 So 28.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Aufgabe 4.)
>
> Die Symmetrie zu beschreiben ist kein Problem. Aber dann
> die SP mit der x-Achse sind wieder problematisch... ich
> habe als Lösung raus: x1: (-t/0) und x2 (t/0), aber das
> ist doch viel zu ungenau, oder?
Nein, an den beiden Punkten ist nichts ungenau. Nicht überraschenderweise hängen die Nullstellen von t ab; für verschiedene Zahlen t haben wir ja auch verschiedene Funktionen [mm] $f_t$! [/mm] Du hast zwei korrekte Schnittpunkte mit der x-Achse genannt. Es gibt noch einen dritten: $(0,0)$. Vermutlich hast du irgendwo durch [mm] $x^2$ [/mm] geteilt. Das geht aber nur für [mm] $x\not=0$.
[/mm]
> c.) Gleichsetzen... okay, aber weiter komme ich da nicht.
Bringe alle Terme auf eine Seite. Dann liegt die typische Situation vor, in der Substitution von [mm] $x^2$ [/mm] durch eine neue Variable weiterhilft.
> d.) Da kapiere ich auch nicht den Ansatz, weil ja nach dem
> x-Wert gefragt ist. Aber ich weiß weder t noch x und
> deswegen, fällt mir kein Rechenweg ein.
Die Nullstellen teilen die x-Werte in Bereiche ein: Ein Bereich links von allen Nullstellen, zwischen je zwei Nullstellen ein Bereich und schließlich ein Bereich rechts von allen Nullstellen. In jedem dieser Bereiche sind die Funktionswerte entweder $>0$ oder $<0$. Gesucht sind die Bereiche, wo die Funktionswerte $>0$ sind. Untersuche also (nachdem du die Nullstellen bestimmt hast), jeden einzelnen Bereich! Dazu kannst du dir einen beliebigen konkreten x-Wert aus dem jeweiligen Bereich nehmen und den Funktionswert an dieser Stelle berechnen.
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Hi Mark und auch von mir ein herzliches !
Ich schreib' jetzt einfach ein bisschen was zu den Aufgaben und wenn sich etwas mit den Antworten von Tobias schneidet, dann hörst/liest du's eben doppelt 
> Aufgabe 1:
>
> Für jedes t (Element: R) ist Kt das Schaubild der
> Funktion: ft(x) = 1/2(x + [mm]t)^2[/mm] (2 - x)
>
> 1.) Ordnen Sie jeder Kurve einen t-Wert zu.
>
> 2.) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung:
> [mm]1/2(x+1)^2[/mm] (2-x) < 0
Mit der Lösungsmenge $\ [mm] \IL [/mm] $ sind alle Lösungen $\ [mm] x_i [/mm] $ gemeint, die diese Ungleichung erfüllen. Ich helf' dir gern dabei:
$\ [mm] 1/2(x+1)^2(2-x) [/mm] < 0 $
$\ [mm] \frac{1}{2}(x^2+2x+1)(2-x) [/mm] < 0 $ $\ | * 2 $
$\ [mm] (x^2+2x+1)(2-x) [/mm] < 0 $
$\ [mm] 2x^2-x^3+4x-2x^2+2-x [/mm] < 0 $
$\ [mm] -x^3+3x+2 [/mm] < 0 $
$\ [mm] -x^3+3x [/mm] < -2 $ $\ | *(-1) $ auf beiden Seiten (Achtung: die Ordnung dreht sich um)
$\ [mm] x^3-3x [/mm] > 2 $
$\ [mm] x(x^2-3) [/mm] > 2 $
Und durch scharfes Hinsehen stellt man fest, dass für alle $\ x > 2 $ die Ungleichung eine wahre Aussage ist.
Also ist $\ [mm] \IL [/mm] = [mm] \{ x \in \IR : x > 2 \} [/mm] $
Wenn hier was unklar ist, frag ruhig!
>
> 3.) G ist das Schaubild von g mit g(x)= -1/2 x + 1.
> Untersuchen Sie, für welche Werte von t es genau zwei
> Schnittpunkte gibt.
Mir ist leider nicht ganz klar, welche Schnittpunkte hier gesucht sind. Also ob Schnittpunkte mit der oben definierten Funktion $\ f $ oder möglicherweise sogar einfach nur die Schnittpunkte mit der $\ x-$Achse, also die Nullstellen.
Falls es sich um die Schnittpunkte mit $\ f $ handelt, musst du lediglich die beiden Funktionen gleichsetzen und dann, wie oben bei der Ungleichung, so lange das ganze zusammenfassen und vereinfachen, bis du mehr oder weniger "ablesen" kannst, für welche $\ t $ es genau(!) zwei Schnittpunkte gibt.
Ob nun Schnittpunkte mit einem anderen Graphen oder mit der x-Achse ist im Grunde immer das selbe.
Für ersteres gilt $\ f(x) = g(x) $ und für letzteres $\ f(x) = 0 $
>
> Aufgabe 2:
>
> Die Abbildung zeigt das Schaubild K der Funktion f mit f(x)
> = ax(x + b)(x +c)
>
> a.) Bestimmen Sie a,b, und c.
>
> b.) Der Punkt P (.../4) liegt auf K. Bestimmen Sie die
> x-Koordinate so genau wie möglich. Beschrieben Sie, wie
> man zu einem vorgegeben y-Wert die zugehörigen Argument
> bestimmen kann.
Ich vermute, dass hier bei a) und b) gewollt ist, dass du die gesuchten Werte im Grunde abliest bzw durch die Analyse des Schaubildes findest.
>
> c.) Für welche Werte von k, k ungleich 0, schneidet die
> Parabel G von g mit g(x) = kx(x-4) das Schaubild K in genau
> zwei Punkten?
Das Schaubild von K ist die Funktion $\ f(x)
= ax(x + b)(x +c) $
Durch $\ f(x) = g(x) $ solltest du an das Ziel kommen. Ist halt relativ viel Rechnerei.
>
> Aufgabe 3:
>
> Gegeben ist die Funktion ft durch ft(x) = [mm]1/2x^3[/mm] - [mm]x^2[/mm] -
> [mm]t^2/2x[/mm] + [mm]t^2[/mm]
>
> Bestätigen Sie, dass 2 eine Nullstelle von ft ist.
> Berechnen Sie alle weiteren Nullstellen. Für welche Werte
> von t gibt es nur 2 Nullstellen?
$\ f(x) = [mm] 1/2x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - [mm] t^2/2x [/mm] + [mm] t^2 [/mm] $
Ich kann die Nullstelle $\ x = 2 $ bzw. die Gleichung $\ f(2) = 0 $ nicht bestätigen. $\ x = 2 $ ist keine Nullstelle der Funktion.
>
> Aufgabe 4: Für jedes t > 0 ist das Schaubild Kt von der
> Funktion ft gegeben durch ft(x) = [mm]1/t^2 x^4[/mm] - [mm]x^2[/mm]
>
> a.) Begründen Sie, ob Kt symmetrisch ist und berechnen Sie
> die Schnittpunklte der x-Achse von Kt.
$\ [mm] f_t [/mm] $ ist Achsensymmetrisch, wenn $\ f(-x) = f(x) $ und Punktsymmetrisch wenn $\ f(-x) = f(x) $
Die Nullstellen findest du wieder, in dem du $\ f(x) = 0 $ setzt und die Lösungen $\ [mm] x_i [/mm] $ ermittelst.
>
> b.) Zeichen Sie K2 und K3. Beschrieben Sie den Einfluss des
> Parameters t auf das Schaubild. Geben Sie die
> Gemeinsamkeiten aller Kt an.
>
> c.) Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von Kt
> und der Parabel [mm]y=x^2[/mm] + [mm]3t^2[/mm] in Abhängigkeit von t.
Wieder die beiden Funktionen gleichsetzen und Lösungen finden! In Abhängigkeit von $\ t $ bedeutet einfach nur, dass deine Lösungen die Form $\ [mm] P_1(\frac{t}{2}/3 [/mm] ) $ z.B. haben.
> Für
> welchen Wert von t ist S(.../1,5) ein Schnittpunkt?
>
> d.) Für welche Werte von x verläuft Kt oberhalb der
> x-Achse?
Hier ist die Lösungsmenge von $\ f(x) > 0 $ gesucht!
> Hallo,
>
> wir schreiben am Montag eine Mathearbeit und ich bräuchte
> dringend Hilfe zum Verständnis zu unserem Thema
> "ganzrationale Funktionen".
>
> Die Themen dafür sind:
>
> 1.) Nullstellen-Methoden (Horner-Schema, Null setzen,
> P.Q.-Formel, ausklammern, Wurzel ziehen.)
> 2.) Allgemeine Form des 3., 4. und 5. Grades
> 3.) Entscheiden ob Schaubild symmetrisch ist (Begründung
> dafür)
> 4.) Wie sieht ein Schaubild des 3. oder 4. Grades aus?
> (wie viele Nullstellen? minus unendlich? u.s.w.)
> 5.) Bedeutung: dreifache, zweifache, einfache NST,
> Vielfachheit der NST.
>
> Mein Problem ist, dass ich die verschiedenen
> Rechenvorgänge (z.B. Hornerschema, Null setzen,
> P.Q.-Formel) eigentlich alle relativ beherrsche und auch
> berechnen könnte, ABER ich verstehe nie die Verbindung,
> bzw. den Zusammenhang dazu.
Das Hornerschema oder die Polynomdivision wirst du immer dann brauchen, wenn du es mit ganzrationalen Funktionen 3. oder höheren Grades zu tun hast. Die pq-Formel dient lediglich zur Lösung von ganzrationalen Funktionen 2. Grades!
Und "die Funktion Null" setzen ($\ f(x) = 0$) musst du immer genau dann,
wenn du Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse (Nullstellen) suchst.
Wenn man sich das kurz überlegt, macht das auch Sinn.
Denn im kartesischen Koordinatensystem geht die x-Achse genau durch den Punkt $\ f(x) = y = 0 $
Deshalb liegen die Nullstellen immer bei $\ (0/ [mm] y_1) [/mm] = [mm] (0/f(x_1)$ [/mm] usw.
>
> Ich bräuchte also dringend irgendwelche SIGNALWÖRTER, bei
> denen es "Klick" macht, welchen Rechenvorgang ich wählen
> muss. Weil ansonsten sitze ich immer in der Arbeit, könnte
> die Rechnung zwar rechnen, aber kapiere gar nicht, welche
> Rechnung nun gefragt ist.
>
> Ich habe die typischen Aufgabenstellungen oben angegeben
> und wäre wirklich für jede Hilfe dankbar.
>
> Ich habe wirklich versucht, die Aufgaben zu rechnen, aber
> mir fehlt jeglicher Lösungsansatz, weil mir die
> Signalwörter fehlen und ich an jeder Teilaufgabe viel zu
> lange brauche. Das darf bei der Arbeit nicht mehr
> passieren.
>
> Danke im Voraus.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=412689
Frag uns einfach, wenn Dir noch Dinge unklar sind!
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:27 So 28.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
zwei kleine Anmerkungen:
> > Aufgabe 1:
> > Für jedes t (Element: R) ist Kt das Schaubild der
> > Funktion: ft(x) = 1/2(x + [mm]t)^2[/mm] (2 - x)
> > 1.) Ordnen Sie jeder Kurve einen t-Wert zu.
> > 2.) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung:
> > [mm]1/2(x+1)^2[/mm] (2-x) < 0
> Mit der Lösungsmenge $\ [mm] \IL [/mm] $ sind alle Lösungen $\ [mm] x_i [/mm] $ gemeint, die
> diese Ungleichung erfüllen. Ich helf' dir gern dabei:
> $\ [mm] 1/2(x+1)^2(2-x) [/mm] < 0 $
> $\ [mm] \frac{1}{2}(x^2+2x+1)(2-x) [/mm] < 0 $ $\ | * 2 $
> $\ [mm] (x^2+2x+1)(2-x) [/mm] < 0 $
> $\ [mm] 2x^2-x^3+4x-2x^2+2-x [/mm] < 0 $
> $\ [mm] -x^3+3x+2 [/mm] < 0 $
> $\ [mm] -x^3+3x [/mm] < -2 $ $\ | *(-1) $ auf beiden Seiten (Achtung: die Ordnung dreht sich um)
> $\ [mm] x^3-3x [/mm] > 2 $
> $\ [mm] x(x^2-3) [/mm] > 2 $
> Und durch scharfes Hinsehen stellt man fest, dass für alle $\ x > 2 $ die Ungleichung eine wahre Aussage ist.
> Also ist $\ [mm] \IL [/mm] = [mm] \{ x \in \IR : x > 2 \} [/mm] $
Wie siehst du, dass alle x der Lösungsmenge >2 sind? Ich erkenne das zwar an der Ausgangsungleichung, nicht aber an der, die du ermittelt hast.
> > Aufgabe 3:
> >
> > Gegeben ist die Funktion ft durch ft(x) = [mm]1/2x^3[/mm] - [mm]x^2[/mm] -
> > [mm]t^2/2x[/mm] + [mm]t^2[/mm]
> >
> > Bestätigen Sie, dass 2 eine Nullstelle von ft ist.
> > Berechnen Sie alle weiteren Nullstellen. Für welche Werte
> > von t gibt es nur 2 Nullstellen?
>
> [mm]\ f(x) = 1/2x^3 - x^2 - t^2/2x + t^2[/mm]
>
> Ich kann die Nullstelle [mm]\ x = 2[/mm] bzw. die Gleichung [mm]\ f(2) = 0[/mm]
> nicht bestätigen. [mm]\ x = 2[/mm] ist keine Nullstelle der
> Funktion.
Doch, das ist eine Nullstelle. Eine mögliche Ursache, dass du zu einem anderen Ergebnis kommst: [mm] $x^3$ [/mm] und $x$ sollen nicht in den Nennern der Brüche stehen, sondern hinter den Brüchen.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:34 So 28.02.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
> Hallo,
>
> zwei kleine Anmerkungen:
>
> > > Aufgabe 1:
> > >
> > > Für jedes t (Element: R) ist Kt das Schaubild der
> > > Funktion: ft(x) = 1/2(x + [mm]t)^2[/mm] (2 - x)
> > >
> > > 1.) Ordnen Sie jeder Kurve einen t-Wert zu.
> > >
> > > 2.) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung:
> > > [mm]1/2(x+1)^2[/mm] (2-x) < 0
> > > Mit der Lösungsmenge [mm]\ \IL[/mm] sind alle Lösungen [mm]\ x_i[/mm]
> gemeint, die > > diese Ungleichung erfüllen. Ich helf' dir
> gern dabei:
> > > [mm]\ 1/2(x+1)^2(2-x) < 0[/mm]
> > > [mm]\ \frac{1}{2}(x^2+2x+1)(2-x) < 0[/mm] [mm]\ | * 2[/mm]
> > > [mm]\ (x^2+2x+1)(2-x) < 0[/mm]
> > > [mm]\ 2x^2-x^3+4x-2x^2+2-x < 0[/mm]
> > > [mm]\ -x^3+3x+2 < 0[/mm]
> > > [mm]\ -x^3+3x < -2[/mm] [mm]\ | *(-1)[/mm] auf beiden Seiten (Achtung: die
> Ordnung dreht sich um)
> > > [mm]\ x^3-3x > 2[/mm]
> > > [mm]\ x(x^2-3) > 2[/mm]
> > > Und durch scharfes Hinsehen stellt man fest, dass für
> alle [mm]\ x > 2[/mm] die Ungleichung eine wahre Aussage ist.
> > > Also ist [mm]\ \IL = \{ x \in \IR : x > 2 \}[/mm]
> Wie siehst
> du, dass alle x der Lösungsmenge >2 sind? Ich erkenne das
> zwar an der Ausgangsgleichung, nicht aber an der, die du
> ermittelt hast.
Ich habe $\ [mm] x(x^2-3) [/mm] > 2 $
Und für $\ x = 2 $ lautet die Gleichung $\ 2 > 2 $, was natürlich widersprüchlich ist. Aber für alle $\ x > 2 $ gilt $\ [mm] x(x^2-3) [/mm] > 2 $
>
> > > Aufgabe 3:
> > >
> > > Gegeben ist die Funktion ft durch ft(x) = [mm]1/2x^3[/mm] - [mm]x^2[/mm] -
> > > [mm]t^2/2x[/mm] + [mm]t^2[/mm]
> > >
> > > Bestätigen Sie, dass 2 eine Nullstelle von ft ist.
> > > Berechnen Sie alle weiteren Nullstellen. Für welche Werte
> > > von t gibt es nur 2 Nullstellen?
> >
> > [mm]\ f(x) = 1/2x^3 - x^2 - t^2/2x + t^2[/mm]
> >
> > Ich kann die Nullstelle [mm]\ x = 2[/mm] bzw. die Gleichung [mm]\ f(2) = 0[/mm]
> > nicht bestätigen. [mm]\ x = 2[/mm] ist keine Nullstelle der
> > Funktion.
> Doch, das ist eine Nullstelle. Eine mögliche Ursache,
> dass du zu einem anderen Ergebnis kommst: [mm]x^3[/mm] und [mm]x[/mm] sollen
> nicht in den Nennern der Brüche stehen, sondern hinter den
> Brüchen.
Achso, ja. Ich dachte es heißt $\ [mm] \frac{t^2}{2x} [/mm] $
>
> Viele Grüße
> Tobias
Danke für Deinen Hinweis.
Gruß
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:36 So 28.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Wie siehst du, dass alle x der Lösungsmenge >2 sind? Ich erkenne das
> > zwar an der Ausgangsgleichung, nicht aber an der, die du ermittelt hast.
>
> Ich habe [mm]\ x(x^2-3) > 2[/mm]
>
> Und für [mm]\ x = 2[/mm] lautet die Gleichung [mm]\ 2 > 2 [/mm], was
> natürlich widersprüchlich ist. Aber für alle [mm]\ x > 2[/mm]
> gilt [mm]\ x(x^2-3) > 2[/mm]
Das ist mir noch klar. Aber wie sieht man, dass für x<2 die Ungleichung nicht gilt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:49 So 28.02.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
> > > Wie siehst du, dass alle x der Lösungsmenge >2 sind? Ich
> erkenne das
> > > zwar an der Ausgangsgleichung, nicht aber an der, die du
> ermittelt hast.
> >
> > Ich habe [mm]\ x(x^2-3) > 2[/mm]
> >
> > Und für [mm]\ x = 2[/mm] lautet die Gleichung [mm]\ 2 > 2 [/mm], was
> > natürlich widersprüchlich ist. Aber für alle [mm]\ x > 2[/mm]
> > gilt [mm]\ x(x^2-3) > 2[/mm]
> Das ist mir noch klar. Aber wie
> sieht man, dass für x<2 die Ungleichung nicht gilt?
Du hast recht, das hab ich etwas außer acht gelassen.
Ich wüsste auf anhieb nicht, wie ich das beweisen würde.
Mit der ursprünglichen Ungleichung geht das fix.
$\ [mm] (x+1)^2(2-x) [/mm] < 0 $
Da nach dem binomischen Lehrsatz $\ [mm] (x+1)^2 [/mm] > 0 $ für alle $\ x [mm] \in \IR [/mm] $ ist, gilt nur noch zu untersuchen, wann $\ (2-x) < 0 $
$\ (2-x) < 0 [mm] \gdw [/mm] 2 < x \ \ [mm] \Box [/mm] $
Danke für den Hinweis. Coole Sache das
Gruß
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:51 So 28.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Alles klar, danke! Dann gute Nacht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 So 28.02.2010 | | Autor: | Mark7 |
Wow, vielen Dank für die ausführliche Hilfe auch an ChopSuey!
Ich hätte noch ein paar kleinere Verständnisfragen:
1a.) jeder Kurve einen t-Wert zuordnen: Ich habe dort ja ein Schaubild mit 3 Parabeln... und ich habe die Gleichung ft(x) = 1/2(x + [mm] t)^2 [/mm] (2 - x)
Welche Rolle in der Gleichung spielt der Wert "t"? Es gibt ja "Regeln", wonach man es ablesen kann, wie z.B. "ein Schaubild ist symmetrisch zur y-Achse, wenn die Exponenten gerade sind"... gibt es davon auch etwas für den Wert "t"?
Weil ich könnte ja, bei dem Schaubild für jede Parabel die Schnittpunkte mit der X-Achse ablesen, aber bringt mich das weiter, um "t" zu bestimmen?
1b.) Okay, die Erklärung war sehr gut. Nur eine Frage dazu noch: Woher weiß ich, ab wann sich die Ordnung ändert, bzw. ab wann ich auf beiden Seiten multipliziere?
Aufgabe 2a.) GANZ WICHTIG:
Okay, ich habe ja auch hier ein Schaubild und ich soll a, b und c bestimmen bei der Gleichung f(x) = ax(x + b)(x +c)...
du hast gesagt, man könnte die Punkte ablesen. Aber da bräuchte ich eine kleine Erklärung, was "a" und "b" prinzipiell in einer Funktion sind. Es gibt ja auch dort Regeln, sowas wie z.B. "der Wert ist immer der SP mit der X-Achse" oder "Dieser Wert ist immer der SP mit der Y-Achse"... könnte mir da jemand kurz Licht ins Dunkle bringen?
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Hallo Mark,
> Wow, vielen Dank für die ausführliche Hilfe auch an
> ChopSuey!
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> Ich hätte noch ein paar kleinere Verständnisfragen:
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> 1a.) jeder Kurve einen t-Wert zuordnen: Ich habe dort ja
> ein Schaubild mit 3 Parabeln... und ich habe die Gleichung
> ft(x) = 1/2(x + [mm]t)^2[/mm] (2 - x)
>
> Welche Rolle in der Gleichung spielt der Wert "t"? Es gibt
> ja "Regeln", wonach man es ablesen kann, wie z.B. "ein
> Schaubild ist symmetrisch zur y-Achse, wenn die Exponenten
> gerade sind"... gibt es davon auch etwas für den Wert
> "t"?
Ganz sicher bin ich mir ehrlich gesagt nur bei der additiven Konstante $\ d $, also für eine Funktion der Form
$\ f(x) = [mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm] $
ist die Konstante $\ d $ immer der Schnittpunkt mit der y-Achse.
D.h. würde deine Funktion lauten $\ f(x) = [mm] ax^3+bx^2+cx+t [/mm] $ beispielsweise und $\ a, b, c $ wären Werte, die du kennst, so würde $\ t $ nur bewirken/ändern, wo der Graph die $\ y-Achse $ schneidet.
Ich würde dir in diesem Fall empfehlen, die Funktion einfach mal auszumulitplizieren, einen kostenlosen und simplen Funktionsplotter herunterzuladen und für die Stelle, an der dein Paramater $\ t $ vorkommt, verschiedene Werte einzusetzen.
So bekommst du evtl ein Gespür dafür, was dieser Koeffizient bewirkt.
Vielleicht weiß da jemand mehr darüber als ich, deshalb lass ich diese Frage mal auf teilweise beantwortet.
>
> Weil ich könnte ja, bei dem Schaubild für jede Parabel
> die Schnittpunkte mit der X-Achse ablesen, aber bringt mich
> das weiter, um "t" zu bestimmen?
>
> 1b.) Okay, die Erklärung war sehr gut. Nur eine Frage dazu
> noch: Woher weiß ich, ab wann sich die Ordnung ändert,
> bzw. ab wann ich auf beiden Seiten multipliziere?
Nehmen wir eine ganz Simple ungleichung, wie z.B.
$\ a < b $
Stell dir nun $\ a, b $ beide als Punkte auf einem Zahlenstrahl (z.B. x-Achse im kartesischen Koordinatensystem) vor!
Geometrisch bedeutet diese Ungleichung ja nichts anderes, als dass $\ a $ vor $\ b $ liegt.
Multiplizieren wir diese Ungleichung nun mit $\ -1 $, dreht sich die Ordnung um und wir haben
$\ -a > -b $
Warum?
Angenommen, die Ordnung würde sich, multiplizieren wir beide Seiten mit $\ -1 $ nicht umdrehen, so stünde da
$\ -a < -b $
Auf dem Zahlenstrahl ist aber $\ -a $ und $\ -b $ nichts anderes als die Spiegelung am Nullpunkt von $\ a$ und $\ b $
Wenn $\ a $ vor $\ b $ liegt, so muss doch $\ -a $ hinter $\ - b $ liegen...
Konkretes Beispiel: Du weisst, dass $\ 1 < 3 $ aber du weisst auch, dass $\ -1 > -3 $
Also lautet die einfache Merkregel: Änderst du bei einer Ungleichung(!) auf beiden Seiten alle Vorzeichen (d.h. multiplizierst du beide Seiten mit $\ -1 $) so muss sich die Ordnung umdrehen.
Jetzt verstanden? Frag ruhig, wenn nicht.
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> Aufgabe 2a.) GANZ WICHTIG:
>
> Okay, ich habe ja auch hier ein Schaubild und ich soll a, b
> und c bestimmen bei der Gleichung f(x) = ax(x + b)(x
> +c)...
>
> du hast gesagt, man könnte die Punkte ablesen. Aber da
> bräuchte ich eine kleine Erklärung, was "a" und "b"
> prinzipiell in einer Funktion sind. Es gibt ja auch dort
> Regeln, sowas wie z.B. "der Wert ist immer der SP mit der
> X-Achse" oder "Dieser Wert ist immer der SP mit der
> Y-Achse"... könnte mir da jemand kurz Licht ins Dunkle
> bringen?
>
siehe oben.
Ich hoffe es findet sich noch jemand, der meine Antwort ergänzen kann, so dass alle Unklarheiten beseitigt sind.
Ansonsten einfach wieder Fragen!
Gruß
ChopSuey
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> Wow, vielen Dank für die ausführliche Hilfe auch an
> ChopSuey!
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> Ich hätte noch ein paar kleinere Verständnisfragen:
>
> 1a.) jeder Kurve einen t-Wert zuordnen: Ich habe dort ja
> ein Schaubild mit 3 Parabeln... und ich habe die Gleichung
> ft(x) = 1/2(x + [mm]t)^2[/mm] (2 - x)
>
> Welche Rolle in der Gleichung spielt der Wert "t"? Es gibt
> ja "Regeln", wonach man es ablesen kann, wie z.B. "ein
> Schaubild ist symmetrisch zur y-Achse, wenn die Exponenten
> gerade sind"... gibt es davon auch etwas für den Wert
> "t"?
Hallo Mark
in dieser Form der Funktion hast du ja ein Produkt aus [mm] (x+t)^2 [/mm] und (2-x).
Das t zeigt dir in diesem Fall zwei der drei Nullstellen der Funktion an, denn der Faktor (x-t) ist dann = 0 wenn x = t ist.
> Weil ich könnte ja, bei dem Schaubild für jede Parabel
> die Schnittpunkte mit der X-Achse ablesen, aber bringt mich
> das weiter, um "t" zu bestimmen?
>
> 1b.) Okay, die Erklärung war sehr gut. Nur eine Frage dazu
> noch: Woher weiß ich, ab wann sich die Ordnung ändert,
> bzw. ab wann ich auf beiden Seiten multipliziere?
>
> Aufgabe 2a.) GANZ WICHTIG:
>
> Okay, ich habe ja auch hier ein Schaubild und ich soll a, b
> und c bestimmen bei der Gleichung f(x) = ax(x + b)(x
> +c)...
>
> du hast gesagt, man könnte die Punkte ablesen. Aber da
> bräuchte ich eine kleine Erklärung, was "a" und "b"
> prinzipiell in einer Funktion sind. Es gibt ja auch dort
> Regeln, sowas wie z.B. "der Wert ist immer der SP mit der
> X-Achse" oder "Dieser Wert ist immer der SP mit der
> Y-Achse"... könnte mir da jemand kurz Licht ins Dunkle
> bringen?
>
Hier genauso: Nullstelle 1: a*x = 0 --> [mm] x_{1} [/mm] = 0.
Nullstelle 2: (x+b) = 0 --> [mm] x_{1} [/mm] = -b und schliesslich Nullstelle 3: (x+c) = 0 --> [mm] x_{3} [/mm] = -c
Damit kannst du aus den gegebenen Schaubildern die Parameter a,b und c ablesen.
Gruss Christian
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