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| Aufgabe | Seien G1 und G2 Gebiete mit nicht leerem Schnitt. Entscheide (Beweis der Gegenbeispiel),ob (i) G1UG2 und (ii) G1 geschnitten G2 Gebiete sind.
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Ich denke das G1UG2 wieder ein gebiet ist, da der Schnitt nicht ler ist. Wie Beweis ich das?
Was ist mit dem Schnitt von G1 und G2?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Di 21.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu [mm] $G_1 \cup G_2$:
[/mm]
Klar dürfte sein, dass [mm] $G_1 \cup G_2$ [/mm] offen ist und dass für offene Mengen in [mm] \IC [/mm] Zusammenhang = Wegzusammenhang ist.
Beh.: [mm] $G_1 \cup G_2$ [/mm] ist wegzusammenhängend.
Beweis: Seien $a,b [mm] \in G_1 \cup G_2$
[/mm]
Fall 1: $a,b [mm] \in G_1$ [/mm] . Dann gibt es einen Weg in [mm] G_1 [/mm] , der a mit b verbindet, da [mm] G_1 [/mm] zusammenhängend ist.
Fall 2: $a,b [mm] \in G_2$ [/mm] . Dann gibt es einen Weg in [mm] G_2 [/mm] , der a mit b verbindet, da [mm] G_2 [/mm] zusammenhängend ist.
Fall 3: $a [mm] \in G_1, [/mm] b [mm] \in G_2$. [/mm] Da [mm] G_1 [/mm] und [mm] G_2 [/mm] einen nichtleeren Schnitt haben gibt es ein $c [mm] \in G_1 \cap G_2$. [/mm] Nun verbinde a und c durch einen Weg in [mm] G_1 [/mm] und vebinde c und b durch einen Weg in [mm] G_2. [/mm] Damit hast Du a und b in [mm] G_1 \cup G_2 [/mm] miteinander verbunden.
Zu [mm] $G_1 \cap G_2$:
[/mm]
Wähle [mm] G_1 [/mm] und [mm] G_2 [/mm] als Ringgebiete, also etwa
[mm] G_1 [/mm] = { z: [mm] r_1<|z|
Wenn Du [mm] r_1,R_1, r_2, R_2 [/mm] und [mm] z_0 [/mm] geeignet wählst, siehst Du, dass [mm] $G_1 \cap G_2$ [/mm] nicht zusammenhängend ist
FRED
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