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gebrochene-rationale Funktion: 1/(x²+1) untersuchen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Di 11.10.2005
Autor: ChrissiHSW

Hey!
Ich hab da mal ein Problem. Ich soll die Funktion 1/(x²+1) untersuchen...
Bis zu den Wendepunkten habe ich alles hinbekommen:
(1) Achsensymmetrie
(2) keine Nullstellen, da ein Quotient nur 0 ist, wenn der Zähler null ist, aber dieser ist 1. Somit liegt keine Nullstelle vor
(3) Hochpunkt bei (0/1)

Ja und bei den Wendepunkten komme ich nicht weiter.
Als zweite Ableitung habe ich:
[mm] (6x^4+4x²-2)/(x^8+4x^4+1) [/mm]

Das muss ja gleich null gesetzt werden!
Habe dann mit Hilfe der Substitution 4 mögliche Wendestellen herausbekommen:
1,2) = +/-  [mm] \wurzel{1/3} [/mm]
3,4) = +/- 1

aber es gibt nur 2, wie kann ich denn beweisen dass die anderen ungültig sind??

Grüße
Chrissi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
gebrochene-rationale Funktion: Wurzel aus negativen Zahlen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Di 11.10.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Chrissi,

[willkommenmr] !!


> Bis zu den Wendepunkten habe ich alles hinbekommen:
> (1) Achsensymmetrie

[ok]


> (2) keine Nullstellen, da ein Quotient nur 0 ist, wenn der
> Zähler null ist, aber dieser ist 1. Somit liegt keine
> Nullstelle vor

[ok]


> (3) Hochpunkt bei (0/1)

[ok]

  

> Ja und bei den Wendepunkten komme ich nicht weiter.
> Als zweite Ableitung habe ich:
> [mm](6x^4+4x²-2)/(x^8+4x^4+1)[/mm]

[ok] [notok] Diese 2. Ableitung erscheint mir richtig.
(Ich habe sie jetzt nicht nachgerechnet!)

Allerdings hast Du den beliebten "Fehler" (es ist kein wirklicher Fehler) angewandt, im Nenner auszumultiplizieren.

Wenn Du rechtzeitig ausgeklammert und gekürzt hättest, kommst Du auf folgendes Ergebnis:

$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{6x^2-2}{\left(x^2+1\right)^3}$ [/mm]

  

> Das muss ja gleich null gesetzt werden!
> Habe dann mit Hilfe der Substitution 4 mögliche
> Wendestellen herausbekommen:
> 1,2) = +/-  [mm]\wurzel{1/3}[/mm]

[ok]


> 3,4) = +/- 1

[notok]

Was hast Du denn bei Deiner Substitution erhalten?

[mm] $z_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}$ [/mm] Hieraus hast Du die beiden Werte [mm] $x_{1/2}$ [/mm] erhalten [ok] .


[mm] $z_2 [/mm] \ = \ [mm] \red{-}1$ [/mm]

Und hier versuchst Du also aus einer negativen Zahl die Wurzel zu ziehen.

Also ... ? ;-)


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
gebrochene-rationale Funktion: 2.Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Di 11.10.2005
Autor: ChrissiHSW

Hallo!
Erstmal vielen Dank, das mit der möglichen Wendestelle bei -1 ist einleuchtend, klar, Wurzel aus negativen Zahlen geht nicht!
Aber ich weiß nicht wie du auf die richtige 2.Ableitung gekommen bist. Ich habe es gerade schrittweise noch einmal versucht, bin aber weder auf dein ungekürztes noch auf dein gekürztes Ergebnis gekommen. Mmh! Wäre nett wenn du mir da noch einmal auf die Sprünge helfen könntest.

Grüße

Bezug
                        
Bezug
gebrochene-rationale Funktion: Step by step ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Di 11.10.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Chrissi!


1. Ableitung: $f'(x) \ = \ [mm] \bruch{-2x}{\left(x^2+1\right)^2}$ [/mm]

Sind wir uns hier einig? ;-)


Nun also MBQuotientenregel ...


$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{-2*\left(x^2+1\right)^2 - (-2)*2*\left(x^2+1\right)^1*2x}{\left[\left(x^2+1\right)^2\right]^2}$ [/mm]

$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{-2*\red{\left(x^2+1\right)}^2 + 8x^2*\red{\left(x^2+1\right)}}{\red{\left(x^2+1\right)}^4}$ [/mm]


Nun kürzen:

$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{-2*\left(x^2+1\right)^{\red{1}} + 8x^2*\red{1}}{\left(x^2+1\right)^{\red{3}}}$ [/mm]

$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{-2x^2-2 + 8x^2}{\left(x^2+1\right)^3}$ [/mm]

$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{6x^2-2}{\left(x^2+1\right)^3}$ [/mm]



In der ungekürzten Version musst Du für den Nenner einfach mal [mm] $\left(x^2+1\right)^4 [/mm] \ = \ ...$ rechnen!


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
        
Bezug
gebrochene-rationale Funktion: Anmerkung zur 2. Ableitung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:50 Di 11.10.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Chrissi!


> Als zweite Ableitung habe ich:  [mm](6x^4+4x²-2)/(x^8+4x^4+1)[/mm]

Hier hat sich wirklich auch ein Fehler eingeschlichen, und zwar im Nenner!

Also ungekürzt lautet die 2. Ableitung richtigerweise:

$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{6x^4+4x^2-2}{x^8+4x^6+6x^4+4x^2+1}$ [/mm]


Aber wie bereits oben erwähnt, ist die gekürzte Variante deutlich einfacher, oder nicht? ;-)


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
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