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| Aufgabe | Zeigem Sie, dass die Gleichung eines gedämpften harmonischen Oszillators
[mm] \bruch{d^2x}{dt^2}+2k\bruch{dx}{dt}+\omega^2*x=0 [/mm]
mit [mm] k,\omega [/mm] = konst. als folgendes System von DGL's geschrieben werden kann:
[mm] \bruch{d}{dt}*\vektor{x \\ y}=\pmat{ 0 & 1 \\ -\omega^2 & -2k }.
[/mm]
Stellen Sie danach die verschiedenen Phasen-Portraits (ich kenne das deutsche wort nicht, dieses Diagramm mit den Pfeilen in abhängigkeit von der zeit entweder stabil oder stabil je nachdem ob die pfeile richtung ursprung oder vom ursprung weg zeigen) für:
(a) k=0
(b) [mm] k<\omega
[/mm]
(c) [mm] k=\omega
[/mm]
(d) [mm] k>\omega [/mm] |
Hallo,
meine Frage bezieht sich eigentlich auf den ersten Aufgabenteil. Mir ist noch nicht so ganz klar, wie ich das als System schreiben kann.
Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen ?
lg,
exe
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Hallo exe,
> Zeigem Sie, dass die Gleichung eines gedämpften
> harmonischen Oszillators
>
> [mm]\bruch{d^2x}{dt^2}+2k\bruch{dx}{dt}+\omega^2*x=0[/mm]
>
> mit [mm]k,\omega[/mm] = konst. als folgendes System von DGL's
> geschrieben werden kann:
>
> [mm]\bruch{d}{dt}*\vektor{x \\ y}=\pmat{ 0 & 1 \\ -\omega^2 & -2k }.[/mm]
Hier fehlt doch was ...
Das soll doch sicher [mm] $\frac{d}{dt}\vektor{x\\y}=\pmat{0&1\\-\omega^2&-2k}\cdot{}\vektor{x\\y}$ [/mm] lauten.
Ich finde die Bezeichnung x etwas kritisch, ich nenn's mal lieber [mm] $z_1, z_2$ [/mm] statt $x, y$
Schreibe die Ausgangsdgl. erstmal um:
[mm] $x''=-2kx'-\omega^2x$
[/mm]
Nun setze [mm] $z_1:=x$ [/mm] und [mm] $z_2:=x'$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow z_1'=x'=z_2$ [/mm] und [mm] $z_2'=x''=-2kx'-\omega^2x=-2kz_2-\omega^2z_1$
[/mm]
Nun stelle mal das LGS auf:
[mm] $\frac{d}{dt}\vektor{z_1\\z_2}=A\cdot{}\vektor{z_1\\z_2}$ [/mm] mit einer [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix $A$
Also [mm] $\frac{d}{dt}\vektor{z_1\\z_2}=\pmat{a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}}\cdot{}\vektor{z_1\\z_2}$
[/mm]
Das kannst du nun locker lösen und kommst auf genau die Einträge, die gegeben sind ...
>
> Stellen Sie danach die verschiedenen Phasen-Portraits (ich
> kenne das deutsche wort nicht, dieses Diagramm mit den
> Pfeilen in abhängigkeit von der zeit entweder stabil oder
> stabil je nachdem ob die pfeile richtung ursprung oder vom
> ursprung weg zeigen) für:
>
> (a) k=0
> (b) [mm]k<\omega[/mm]
> (c) [mm]k=\omega[/mm]
> (d) [mm]k>\omega[/mm]
Da müssen doch überall Quadrate stehen, oder nicht?
Ich meine, wenn ich mir die charakter. Gleichung der Dgl. ansehe, ...
> Hallo,
>
> meine Frage bezieht sich eigentlich auf den ersten
> Aufgabenteil. Mir ist noch nicht so ganz klar, wie ich das
> als System schreiben kann.
>
> Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen ?
>
> lg,
>
> exe
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Do 04.03.2010 | | Autor: | MontBlanc |
> Hallo exe,
>
> > Zeigem Sie, dass die Gleichung eines gedämpften
> > harmonischen Oszillators
> >
> > [mm]\bruch{d^2x}{dt^2}+2k\bruch{dx}{dt}+\omega^2*x=0[/mm]
> >
> > mit [mm]k,\omega[/mm] = konst. als folgendes System von DGL's
> > geschrieben werden kann:
> >
> > [mm]\bruch{d}{dt}*\vektor{x \\ y}=\pmat{ 0 & 1 \\ -\omega^2 & -2k }.[/mm]
>
> Hier fehlt doch was ...
Recht hast du... sorry
> Das soll doch sicher
> [mm]\frac{d}{dt}\vektor{x\\y}=\pmat{0&1\\-\omega^2&-2k}\cdot{}\vektor{x\\y}[/mm]
> lauten.
>
> Ich finde die Bezeichnung x etwas kritisch, ich nenn's mal
> lieber [mm]z_1, z_2[/mm] statt [mm]x, y[/mm]
>
> Schreibe die Ausgangsdgl. erstmal um:
>
> [mm]x''=-2kx'-\omega^2x[/mm]
>
> Nun setze [mm]z_1:=x[/mm] und [mm]z_2:=x'[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow z_1'=x'=z_2[/mm] und
> [mm]z_2'=x''=-2kx'-\omega^2x=-2kz_2-\omega^2z_1[/mm]
>
> Nun stelle mal das LGS auf:
>
> [mm]\frac{d}{dt}\vektor{z_1\\z_2}=A\cdot{}\vektor{z_1\\z_2}[/mm] mit
> einer [mm]2\times 2[/mm]-Matrix [mm]A[/mm]
>
> Also
> [mm]\frac{d}{dt}\vektor{z_1\\z_2}=\pmat{a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}}\cdot{}\vektor{z_1\\z_2}[/mm]
>
> Das kannst du nun locker lösen und kommst auf genau die
> Einträge, die gegeben sind ...
>
> >
> > Stellen Sie danach die verschiedenen Phasen-Portraits (ich
> > kenne das deutsche wort nicht, dieses Diagramm mit den
> > Pfeilen in abhängigkeit von der zeit entweder stabil oder
> > stabil je nachdem ob die pfeile richtung ursprung oder vom
> > ursprung weg zeigen) für:
> >
> > (a) k=0
> > (b) [mm]k<\omega[/mm]
> > (c) [mm]k=\omega[/mm]
> > (d) [mm]k>\omega[/mm]
>
> Da müssen doch überall Quadrate stehen, oder nicht?
>
> Ich meine, wenn ich mir die charakter. Gleichung der Dgl.
> ansehe, ...
Ups, natürlich stimmt auch das.
> > Hallo,
> >
> > meine Frage bezieht sich eigentlich auf den ersten
> > Aufgabenteil. Mir ist noch nicht so ganz klar, wie ich das
> > als System schreiben kann.
> >
> > Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen ?
> >
> > lg,
> >
> > exe
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Danke, dass du die frage trotz meiner schlamperei beantwortet hast. Ich melde mich, wenn ich mich durchgearbeitet habe.
lg
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