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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 So 18.12.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | In einer Urne sind je 3 gelbe, rote, grüne und blaue Kugeln. Bei jeder Farbe
sind die Kugeln jeweils mit 1, 2 und 3 gekennzeichnet. Es werden nacheinander ohne
Zurücklegen zwei Kugeln gezogen. Dann ist
[mm]\Omega = \{ \left( \omega_1 , \omega_2 \right) | \omega_i \in \{Gelb1, Gelb2, Gelb3, Rot1,..., Blau3 \}, i=1,2; \omega_1 \not= \omega2 \}[/mm]
Als Wahrscheinlichkeitsverteilung kann die Laplace-Wahrscheinlichkeit P angenommen werden.
Definiere [mm][mm] X_1 [/mm] , [mm] X_2: \Omega \to \IR[/mm] [mm] für [mm] i=1,2[/mm] durch
[mm]X_i (\omega_1 , \omega_2 )=\begin{cases} 1, & \mbox{für } \omega_i \mbox{ Kugel mit 1} \\ 2, & \mbox{für } \omega_i \mbox{ Kugel mit 2} \\ 3, & \mbox{für } \omega_i \mbox{ Kugel mit 3} \end{cases}[/mm]
(a) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm], sowie die daraus resultierenden Randverteilungen von [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm].
(b) Sind [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] stochastisch unabhängig?
(c) Bestimmen sie [mm]Var(X_1 + X_2)[/mm] |
hi!
als ersten: die Farben sind doch Wurst, oder?
bin mir nicht ganz sicher, ob ich das richtig gemacht habe.
ich habe die Wahrscheinlichkeiten in eine Tabelle eingetragen.
ich versuch das mal darzustellen...
[mm]\begin{matrix}
& \omega_2 =1 & \omega_2=2 & \omega_2 =3 && P_X ( \omega_1 ) \\
\omega_1 =1 & \bruch{1}{11} & \bruch{4}{33} & \bruch{4}{33} && \bruch{1}{3}\\
\omega_1 =2 & \bruch{4}{33} & \bruch{1}{11} & \bruch{4}{33} && \bruch{1}{3}\\
\omega_1 =3 & \bruch{4}{3} & \bruch{4}{33} & \bruch{1}{11} && \bruch{1}{3}\\
P_Y ( \omega_2 ) & \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} && 1
\end{matrix}[/mm]
die "Felder" in der Mitte stellen doch die gemeinsame Verteilung da und die [mm]\bruch{1}{3}[/mm] sind die Randverteilungen, oder?
und (b), also stochastische Unabhängigkeit, lässt sich daraus auch erlesen, oder??
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> In einer Urne sind je 3 gelbe, rote, grüne und blaue
> Kugeln. Bei jeder Farbe
> sind die Kugeln jeweils mit 1, 2 und 3 gekennzeichnet. Es
> werden nacheinander ohne
> Zurücklegen zwei Kugeln gezogen. Dann ist
> [mm]\Omega = \{ \left( \omega_1 , \omega_2 \right) | \omega_i \in \{Gelb1, Gelb2, Gelb3, Rot1,..., Blau3 \}, i=1,2; \omega_1 \not= \omega2 \}[/mm]
>
> Als Wahrscheinlichkeitsverteilung kann die
> Laplace-Wahrscheinlichkeit P angenommen werden.
> Definiere [mm][mm]X_1[/mm] , [mm]X_2: \Omega \to \IR[/mm] [mm]für [mm]i=1,2[/mm] durch[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]X_i (\omega_1 , \omega_2 )=\begin{cases} 1, & \mbox{für } \omega_i \mbox{ Kugel mit 1} \\ 2, & \mbox{für } \omega_i \mbox{ Kugel mit 2} \\ 3, & \mbox{für } \omega_i \mbox{ Kugel mit 3} \end{cases}[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm][/mm][/mm]
> [mm][mm](a) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm], sowie die daraus resultierenden Randverteilungen von [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm].[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm](b) Sind [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] stochastisch unabhängig?[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm](c) Bestimmen sie [mm]Var(X_1 + X_2)[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]hi![/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]als ersten: die Farben sind doch Wurst, oder?[/mm][/mm]
ja
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]bin mir nicht ganz sicher, ob ich das richtig gemacht habe.[/mm][/mm]
> [mm][mm] ich habe die Wahrscheinlichkeiten in eine Tabelle eingetragen.[/mm][/mm]
> [mm][mm] ich versuch das mal darzustellen...[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]\begin{matrix}[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] & \omega_2 =1 & \omega_2=2 & \omega_2 =3 && P_X ( \omega_1 ) \\[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] \omega_1 =1 & \bruch{1}{11} & \bruch{4}{33} & \bruch{4}{33} && \bruch{1}{3}\\[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] \omega_1 =2 & \bruch{4}{33} & \bruch{1}{11} & \bruch{4}{33} && \bruch{1}{3}\\[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] \omega_1 =3 & \bruch{4}{3} & \bruch{4}{33} & \bruch{1}{11} && \bruch{1}{3}\\[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]P_Y ( \omega_2 ) & \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} && 1[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] \end{matrix}[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]die "Felder" in der Mitte stellen doch die gemeinsame Verteilung da und die [mm]\bruch{1}{3}[/mm] sind die Randverteilungen, oder?[/mm][/mm]
scheint alles zu stimmen
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]und (b), also stochastische Unabhängigkeit, lässt sich daraus auch erlesen, oder?? [/mm][/mm]
ja. Unabhängig heißt ja [mm] P(X_1=j [/mm] und [mm] X_2=j)=P(X_1=i)*P(X_2=j) [/mm] für alle i,j, d.h. die Tabelleneinträge müssen gleich dem Produkt der jeweiligen randverteilungen sein. diese Bedingung lässt sich anhand der Tabelle nachprüfen.
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