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| Aufgabe | Die Summe der geraden Glieder einer geometrischen Folge von 5 rationalen Zahlen beträgt [mm] \bruch{5}{2}, [/mm] die der ungeraden Glieder [mm] \bruch{21}{4}.
[/mm]
Wie lauten die einzelnen Glieder?
Hinweis: Bezeichnen Sie das mittlere Glied mit x und verwenden Sie [mm] \bruch{1}{q^2}+q^2 [/mm] = [mm] (\bruch{1}{q}+q)^2 [/mm] -2 !
Zusatz: Begründen Sie ohne Rechnung, warum zwei Lösungen existieren! |
Mein Ansatz, der offensichtlich wohl falsch ist lautet:
a + [mm] aq^2 [/mm] + [mm] aq^4 [/mm] + [mm] aq^6 [/mm] + [mm] aq^8 [/mm] = [mm] \bruch{21}{4}
[/mm]
aq + [mm] aq^3 [/mm] + [mm] aq^5 [/mm] + [mm] aq^7 [/mm] + [mm] aq^9 [/mm] = [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
Diese Gleichung hätte ich dann nach a aufgelöst und das Ergebnis in die erste eingesetzt, um so a und q zu berechnen... jedoch komme ich so leider auf kein ergebnis und zudem habe ich den Hinweis in der Aufgabenstellung nicht benutzt -> daher ist dieser Ansatz offensichtlich falsch :-(
Kann mir jemand weiterhelfen?
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Hallo LittleStudi,
bist du dir sicher, dass du die Aufgabe im Originalwortlaut wiedergegeben hast? Was sind gerade und ungerade Glieder? Natzürlich, es sind Glieder mit gerader bzw. ungerader Nummer, aber das muss richtig formuliert werden. Weiter hast du nicht angegeben, ob die Nummerierung bei 0 ode bei 1 beginnen soll, man kann aber aus dem Hinweis ersteres entnehmen.
Und diesen Hinweis hast du komplett missachtet. Mit diesem Hinweis komme ich für die Summe der Glieder mit geradzahliger Nummer sofort auf die Gleichung
[mm] \bruch{x}{q^2}+x+x*q^2=\bruch{5}{2}
[/mm]
Ist dir klar, wie die zweite Gleichung heißt und wie man den Hinweis jetzt nutzbringend einsetzt?
Gruß, Diophant
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Ja, leider war das der Originalwortlaut :(
Wie bist du denn auf diese Gleichung gekommen? Und wie berechne ich aus dieser Gelichung die einzelnen Glieder? Im Grunde müsste ich doch 5 Zahlenwerte für die geraden Glieder und 5 Zahlenwerte für die ungeraden Glieder herausbekommen, oder?
Da ich den Ansatz zur ersten Gleichung noch nicht verstanden habe, habe ich leider auch keine Ahnung zur zweiten :(
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Hallo,
> Wie bist du denn auf diese Gleichung gekommen? Und wie
> berechne ich aus dieser Gelichung die einzelnen Glieder? Im
> Grunde müsste ich doch 5 Zahlenwerte für die geraden
> Glieder und 5 Zahlenwerte für die ungeraden Glieder
> herausbekommen, oder?
ich denke, es sind die ersten fünf Glieder gesucht. Das Symbol '5' in der Aufgabenstellung ist da recht eindeutig...
Weiter habe ich, da sonst nichts gesagt ist, das erste Gleid mit der Nummer 0 belegt. Somit besteht die Folge aus den Gliedern [mm] a_0 [/mm] bis [mm] a_4. [/mm] Da es eine geometrische Folge ist, gilt sicherlich
[mm] a_n=b*q^n
[/mm]
Wenn also [mm] a_2=x, [/mm] dann kommt jetzt die Preisfrage: wie lauten dann [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_4? [/mm] Das ist nicht weiter schwierig. Und die Antwort darauf liefert dir meine Gleichung sowie
> Da ich den Ansatz zur ersten Gleichung noch nicht
> verstanden habe, habe ich leider auch keine Ahnung zur
> zweiten :(
die zweite auch!
Gruß, Diophant
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Genau es sind die ersten 5 geraden und die ersten 5 ungeraden Glieder gesucht...
Aber ist bei der ersten Gleichung (wenn man mit [mm] a_{0} [/mm] beginnt nicht [mm] a_{4} [/mm] das mittlere Glied das mit x bezeichnet werden müsste?
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Hallo LittleStudi,
bevor wir weitermachen:
> Genau es sind die ersten 5 geraden und die ersten 5
> ungeraden Glieder gesucht...
im Themenstart ist die Rede von 5 Folgengliedern, jetzt sagst du, es wären 10. Das solltest du definitiv klären, bevor man dir zielführend helfen kann.
Gruß, Diophant
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Es sind jeweils 5, ich habe die Aufgabenstellung exakt abgeschrieben...
Daher 5 gerade und 5 ungerade Folgeglieder.
Man müsste somit 10 Zahlenwerte am Ende herausbekommen.
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Hallo,
> Die Summe der geraden Glieder einer geometrischen Folge von
> 5 rationalen Zahlen beträgt
vs.
> Es sind jeweils 5, ich habe die Aufgabenstellung exakt
> abgeschrieben...
soweit dazu. 
Gruß, Diophant
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Ja die Aufgabenstellung ist vielleicht nicht genau genug formuliert, es müssen aber ich weiß das bei dem einen 5 Zahlen herauskommen und bei den anderen auch. Ich habe die Aufgabe aber auch zuerst anders verstanden...
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Hallo,
> es müssen aber ich weiß das bei dem einen 5
> Zahlen herauskommen und bei den anderen auch.
woher weißt du das? Und bist du dir darüber im Klaren, dass das auf ein Gleichungssystem 10. Ordnung führt? Und das der gegebene Hinweis
[mm] \bruch{1}{q^2}+q^2=\left(\bruch{1}{q}+q\right)^2-2
[/mm]
für den Fall, dass es 10 Glieder sind, keinerlei Sinn macht, für den, dass es insgesamt nur 5 sind aber sehr wohl?
Gruß, Diophant
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Also es sind quasi 2 Aufgaben einmal soll man die ersten 5 Geraden und bei der zweiten Aufgabe soll man die 5 ungeraden Glieder bestimmen. Ich weiß das jeweils 5 Zahlen herauskommen müssen, daher das mit den jeweils 5. Aber es sind quasi zwei getrennte Aufgaben, daher auch der Zusatz mit zwei Lösungen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Mi 11.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du die Aufgabe wörtlich zitiert hast , ist es EINE Aufgabe. und es sind insgesamt 5 rationale Zahlen in der Folge.
Wie kommst du auf deine 10 Zahlen?
Gruss leduart
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Nunja, ich dachte mir, dass man einmal die ersten 5 geraden Folgeglieder addiert:
also: [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{4} [/mm] + [mm] a_{6} [/mm] + [mm] a_{8} [/mm] diese müssten dann ja [mm] \bruch{5}{2} [/mm] ergeben.
und dann macht man das nochmal mit den ungeraden
also: [mm] a_{1}+ a_{3} [/mm] + ... + [mm] a_{9} [/mm] diese ergeben [mm] \bruch{21}{4}
[/mm]
Aber es kann auch sein, dass ich die Aufgabe vollständig missverstanden habe...
Die Lösung der Aufgabe sollte 0,25; 0,5; 1; 2; 4 bzw. 4; 2; 1; 0,5; 0,25 sein. Könnt ihr damit etwas anfangen und mir vielleicht weiterhelfen?
Dankeschön :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Mi 11.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
an der Lösung siehst du doch, dass es insgesamt nur 5 Zahlen sind: 0.25+1+4=21/4; 0.5+2=5/2 dasselbe mit den anderen 5 Zahlen.
damit ist klar dass es sich um [mm] a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 [/mm] handelt mit [mm] a_1=a a_2=a*q a_3=aq^2 [/mm] usw.
d.h. die Numerierung fängt mit 1 an , damit das mit der Summe der ungeraden und geraden Gliedern stimmt.
Du weisst also [mm] a+a*q^2+a*q^4=21/4 [/mm] und [mm] a*q+a*q^3=5/2
[/mm]
und dann berücksichtige den Tip
Gruss leduart
Gruss leduart
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Achso, nun wird mir einiges klarer... :)
So wenn ich das mittlere Glied mit x bezeichne erhalte ich für die zwei Gleichungen:
[mm] \bruch{x}{q^2} [/mm] + x + [mm] xq^2 [/mm] = [mm] \bruch{21}{4}
[/mm]
Und:
[mm] \bruch{x}{q} [/mm] + xq = [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
Ich könnte jetzt noch x ausklammern? Hilft das für den Hinweis? Oder löse ich das gleichungssystem ganz einfach auf... bspw mit dem einsetzungsverfahren....
Vielen Dank schon mal :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mi 11.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Achso, nun wird mir einiges klarer... :)
>
> So wenn ich das mittlere Glied mit x bezeichne erhalte ich
> für die zwei Gleichungen:
>
> [mm]\bruch{x}{q^2}[/mm] + x + [mm]xq^2[/mm] = [mm]\bruch{21}{4}[/mm]
>
> Und:
>
> [mm]\bruch{x}{q}[/mm] + xq = [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
>
> Ich könnte jetzt noch x ausklammern? Hilft das für den
> Hinweis? Oder löse ich das gleichungssystem ganz einfach
> auf... bspw mit dem einsetzungsverfahren....
Verwende den Hinweis und Du bekommst aus den obigen Gleichungen eine quadratische Gl. für x
FRED
>
> Vielen Dank schon mal :)
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Keine Ahnung wie :-/
Ich habe mal x ausgeklammert und dann erhalte ich:
x ( [mm] \bruch{1}{q^2} [/mm] + 1 + [mm] q^2) [/mm] = 21/4
soll ich hier nun den Hinweis einsetzen?
Dann erhalte ich doch das:
X [mm] ((\bruch{1}{q} [/mm] + [mm] q)^2 [/mm] -1) = 21/4
Das ist doch nicht einfacher, oder?
Oder heißt das das ich aus der zweiten gl. für (1/q +q) = 5/2x einsetzen kann?
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> Keine Ahnung wie :-/
>
> Ich habe mal x ausgeklammert und dann erhalte ich:
>
> x ( [mm]\bruch{1}{q^2}[/mm] + 1 + [mm]q^2)[/mm] = 21/4
>
> soll ich hier nun den Hinweis einsetzen?
>
> Dann erhalte ich doch das:
>
> X [mm]((\bruch{1}{q}[/mm] + [mm]q)^2[/mm] -1) = 21/4
>
> Das ist doch nicht einfacher, oder?
>
> Oder heißt das das ich aus der zweiten gl. für (1/q +q) =
> 5/2x einsetzen kann? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Vielleicht meinst du das Richtige.
Schön wäre, wenn du diesen Term noch richtig schriebest,
z.B. mittels Klammern ...
Al-Chw.
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Also ich habe die zweite Gleichung x-ausgeklammert: x ( [mm] \bruch{1}{q} [/mm] + q ) [mm] =\bruch{5}{2}
[/mm]
und umgeformt zu [mm] \bruch{1}{q} [/mm] + q = [mm] \bruch{5}{2x}
[/mm]
dieses [mm] \bruch{1}{q} [/mm] + q habe ich nun in die erste gleichung eingesetzt:
=> x ( [mm] (\bruch{5}{2x})^2 [/mm] - 1) = [mm] \bruch{21}{4}
[/mm]
wenn ich das auflöse erhalte ich für x=1
Dieses x setzt ich nun wieder in die zweite Gl. ein =>
[mm] \bruch{1}{q} [/mm] + q = [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
dies ist eine quadratische Gl. mit den Lösungen [mm] q_{1} [/mm] = 0,5 und [mm] q_{2} [/mm] = 2
Damit könnte man nun die einzelnen Folgeglieder berechnen...
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> Also ich habe die zweite Gleichung x-ausgeklammert:
> [mm] x * ( \bruch{1}{q}[/mm] + q ) [mm]=\bruch{5}{2}[/mm]
>
> und umgeformt zu [mm]\bruch{1}{q}[/mm] + q = [mm]\bruch{5}{2x}[/mm]
>
> dieses [mm]\bruch{1}{q}[/mm] + q habe ich nun in die erste gleichung
> eingesetzt:
>
> => x ( [mm](\bruch{5}{2x})^2[/mm] - 1) = [mm]\bruch{21}{4}[/mm]
>
> wenn ich das auflöse erhalte ich für x=1
x=1 ist allerdings erst eine von zwei möglichen Lösungen.
LG
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Stimmt -1 ist natürlich auch noch eine Lösung ;)
Okay, der Rest ist dann ja eigentlich nur noch ausrechnen :)
Vielen, vielen Dank euch allen für eure Hilfe, ihr habt mir sehr geholfen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Vielen, vielen Dank euch allen für eure Hilfe, ihr habt
> mir sehr geholfen
das ist von allen Seiten natürlich gern geschehen. Dennoch: versuche in Zukunft zwei Dinge im Forum:
- Gib Aufgabenstellungen so präziese wie irgend möglich an.
- Setze dich mit gegebenen Hinweisen gründlicher auseinander, sowohl mit den Hinweisen in einer Aufgabenstellung, als auch mit den hier gegebenen.
Denn der größte Teil des Threads ging darum, dir die richtige Interpretation der Aufgabe klarzumachen, einer AUgfbae, die dir jedoch sicherlich auch in etwas unglücklicher Form gestellt wurde.
Viel Erfolg weiterhin!
Gruß, Diophant
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Ich habe die Aufgabe nun zuende gerechnet, jedoch komme ich leider nicht auf die Lösung x=1 bzw. x=-1
Hier mein Problem:
die erste Gleichung war ja x ( [mm] \bruch{1}{q^2} [/mm] + [mm] q^2 [/mm] +1 ) = [mm] \bruch{21}{4} [/mm] durch den Hinweis erhält man hierfür x ( [mm] (\bruch{1}{q} [/mm] + [mm] q)^2 [/mm] -1) = [mm] \bruch{21}{4}
[/mm]
die zweite Gleichung x ( [mm] \bruch{1}{q} [/mm] + q ) = [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
wenn ich nun für " [mm] \bruch{1}{q} [/mm] + q " in die erste Gleichung [mm] \bruch{5}{2x} [/mm] einsetze, erhalte ich folgendes:
x ( [mm] \bruch{25}{4x^2} [/mm] - 1 ) = [mm] \bruch{21}{4}
[/mm]
= [mm] \bruch{25}{4x} [/mm] - x = [mm] \bruch{21}{4}
[/mm]
= [mm] -\bruch{25}{4} [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{21x}{4} [/mm] = 0
Diese quad. Gl. hat aber nicht die Lösung x=-1, oder?
Wo ist mein Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Mi 11.01.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
niemand außer dir hat gesagt, dass die 2 te Lösung -1 ist! und niemand dass es zu einer Lösung für q führt, nur dass man es wenigstens ansehen muß
gruss leduart
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Achso ;)
Dann bin ich beruhigt :-D
Vielen Dank nochmals !!!
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Hallo,
es sind doch ganz klar nur 5 Glieder einer GF gesucht.
Dass in der Lösung dann zweimal 5 Zahlen angegeben
werden, hat nur damit zu tun, dass die Aufgabe zwei
verschiedene Lösungen hat.
Die insgesamt 10 Zahlenwerte bilden jedoch insgesamt nicht
eine GF.
LG
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> Die Summe der geraden Glieder einer geometrischen Folge von
> 5 rationalen Zahlen beträgt [mm]\bruch{5}{2},[/mm] die der
> ungeraden Glieder [mm]\bruch{21}{4}.[/mm]
Natürlich müsste das heißen: die Glieder mit geraden bzw.
ungeraden Nummern. Das wurde schon mitgeteilt.
Da nicht angegeben ist, ob die Nummerierung mit 1 (oder
einer anderen ungeraden Zahl) oder mit 0 beginnt, könnte
man beide Möglichkeiten ausprobieren. Es zeigt sich dann
aber, dass man, wenn man mit Nummer 0 beginnt, Folgen
mit echt komplexen Quotienten herauskommen. Und dies
war wohl nicht gemeint.
Ich hätte mir eigentlich einen zweiten Satz "sinnvoller"
Lösungen gewünscht, die man dann dem etwas unsorg-
fältigen Aufgabensteller hätte unter die Nase reiben können ... 
LG Al-Chw.
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