geometrische Mittel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Di 23.06.2009 | | Autor: | lalalove |
Hallo :D
Kann mir bitte jmd. das Geometrische Mittel definieren?
Im Internet finde ich nur Beispiele, oder diese Formel:
g = [mm] \wurzel[n]{x_{1}*x_{2}*.... x_{n}}
[/mm]
(Das geo. Mittel g zweier positiver Zahlen a und b ist somit die (Quadrat-)Wurzel aus ihrem Produkt.)
aber keine Definitionen.
und zum geometischen Mittel muss ich noch zeigen,
dass der Logarithmus d. geo. Mittels zweier Zahlen das arithmetische Mittel ihrer Logarithmen ist.
Aber was ist das geometrische Mittel denn?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Di 23.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo :D
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> Kann mir bitte jmd. das Geometrische Mittel definieren?
> Im Internet finde ich nur Beispiele, oder diese Formel:
>
> g = [mm]\wurzel[n]{x_{1}*x_{2}*.... x_{n}}[/mm]
> (Das geo. Mittel g
> zweier positiver Zahlen a und b ist somit die
> (Quadrat-)Wurzel aus ihrem Produkt.)
>
> aber keine Definitionen.
>
> und zum geometischen Mittel muss ich noch zeigen,
> dass der Logarithmus d. geo. Mittels zweier Zahlen das
> arithmetische Mittel ihrer Logarithmen ist.
>
> Aber was ist das geometrische Mittel denn?
>
Hallo,
wie du schon selbst geschrieben hast: die Wurzel aus dem Produkt.
Vergleichen wir mal mit dem arithmetischen Mittel:
Wenn du zwei verschiedene Zahlen a und b addierst (z.B. 4 und 8) erhältst du das gleiche Ergebnis, als würdest du zweimal den gleichen (Mittel-)Wert 6 addieren.
Jetzt zum geometrischen Mittel, am Beispiel der Zahlen 4 und 9:
Das Produkt der Zahlen 4 und 9 ist 36.
Das Produkt 36 erhältst du auch, wenn du nicht die verschiedenen Faktoren 4 und 9, sondern die gleichen Faktoren 6 und 6 multiplizierst. Deswegen ist 6 das geometrische Mittel von 4 und 9. Aus 6*6=4*9 folgt [mm] 6=\wurzel{4*9}
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Di 23.06.2009 | | Autor: | lalalove |
ah ok. Danke =)
Aber wie zeige ich jetzt, dass das Logarithmus des geometrischen Mittels zweier Zahlen (laut Beispiel jetzt [mm] \wurzel{4 * 9} [/mm] = 6) das arithmetische Mittel ihrer Logarithmen ist?
lg 6 = lg4 + lg 6
lg6 = 0,778
so richtig oder? =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Di 23.06.2009 | | Autor: | abakus |
> ah ok. Danke =)
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> Aber wie zeige ich jetzt, dass das Logarithmus des
> geometrischen Mittels zweier Zahlen (laut Beispiel jetzt
> [mm]\wurzel{4 * 9}[/mm] = 6) das arithmetische Mittel ihrer
> Logarithmen ist?
>
> lg 6 = lg4 + lg 6
>
> lg6 = 0,778
>
> so richtig oder? =)
Nein!
Wenn g das geom. Mittel von a und b ist, gilt [mm] g=\wurzel{ab}.
[/mm]
Logarithmiere diese Gleichung und wende dann ein Logarithmengesetz an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Di 23.06.2009 | | Autor: | lalalove |
> [mm]g=\wurzel{ab}.[/mm]
> Logarithmiere diese Gleichung und wende dann ein
> Logarithmengesetz an.
wenn ich logarithmiere, dann habe ich doch:
lg[mm] (g)= lg (\wurzel{ab}.[/mm])
lg[mm](6)=lg(\wurzel{4*9}.[/mm])
lg[mm](6)= lg[mm](6) ??
(so wie ich vorhin eigentl gschrieben habe.. nur anders ausgedrückt)
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Hallo, die Aufgabe kannst du aber nicht an einem Beispiel zeigen, allgemein lösen
[mm] lg(g)=lg(\wurzel{ab})
[/mm]
benutze [mm] \wurzel{ab}=(ab)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
jetzt schaue dir eins der  Logarithmusgesetze an, was kannst du mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] machen, dann noch ein weiteres Logarithmengesetz anwenden,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Di 23.06.2009 | | Autor: | lalalove |
zum geometrischen Mittel habe ich noch diesen Satz:
[mm] \wurzel{a}{b} [/mm] nennt man das geom. Mittel, [mm] \bruch{1}{2}(a+b) [/mm] das arithmetische Mittel der Zahlen a und b.
__
Und wie heißt es dann, wenn ich das geometrische Mittel von mehr als zweo Zahlen haben möchte?
Wie definiere ich das geometrische Mittel dann?
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Hallo lalalove,
> zum geometrischen Mittel habe ich noch diesen Satz:
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> [mm]\wurzel{a}{b}[/mm] nennt man das geom. Mittel, [mm]\bruch{1}{2}(a+b)[/mm]
> das arithmetische Mittel der Zahlen a und b.
> __
>
> Und wie heißt es dann, wenn ich das geometrische Mittel von
> mehr als zweo Zahlen haben möchte?
> Wie definiere ich das geometrische Mittel dann?
einfach analog weitermachen:
arithmetisch: [mm] \bruch{1}{3}(a+b+c) [/mm] ...
geometrisch: [mm] \wurzel[3]{a*b*c} [/mm] ...
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Gruß informix
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