gew. lin. DGL -> kompl. Ansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:28 So 27.05.2012 | | Autor: | kinaiii |
| Aufgabe | y'' + y' + y = sin (2x)
-> Lösen Sie die DGL unter Verwendung des komplexen Ansatzes! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Morgen,
ich habe mich mal an oben genannter Aufgabenstellung versucht, bin mir aber nicht sicher, ob ich dabei alles bedacht habe. Über den komplexen Ansatz zu Differentialgleichungen habe ich im Internet leider relativ wenig konkretes gefunden, habe aber einige Skripte sowie den Papula dazu durchstöbert.
Hier mein Ansatz, mit dem ich auf ein Ergebnis komme:
Zuerst Lösung der charakteristischen Gleichung:
y''+y'+y=sin(2x)
[mm] \lambda^2+\lambda+1=0
[/mm]
-> [mm] \lambda_{1/2}=-\bruch{1}{2}\pm [/mm] j [mm] \wurzel{\bruch{3}{4}}
[/mm]
Dann habe ich den Sinus in einen Cosinus umgewandelt, weil ich das bei allen komplexen Ansätzen so gesehen und daher als am einfachsten empfunden habe. Dazu eine komplexe Hilfsgleichung aus der reellen erstellt.
[mm] z''+z'+z=cos(2x-\bruch{\pi}{2})=e^{j(2x-\bruch{\pi}{2})}
[/mm]
Mein Ansatz dazu: [mm] z_{p}=Ae^{j(2x-\phi)}
[/mm]
[mm] z'_{p}=jAe^{j(2x-\phi)}
[/mm]
[mm] z''_{p}=-Ae^{j(2x-\phi)}
[/mm]
Damit komme ich bei Einsetzen in
[mm] z''+z'+z=cos(2x-\bruch{\pi}{2})=e^{j(2x-\bruch{\pi}{2})}
[/mm]
auf [mm] jAe^{j(2x-\phi)} [/mm] = [mm] e^{j(2x-\bruch{\pi}{2})}
[/mm]
Damit auf: A = [mm] \bruch{1}{j} [/mm] = -j
[mm] \phi [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Damit bin ich dann mit meinem Ansatz und der Eulerformel bei:
[mm] z_{p}=-je^{j(2x-\bruch{\pi}{2})} [/mm] = [mm] -j(cos(2x-\bruch{\pi}{2})+jsin(2x-\bruch{\pi}{2}))
[/mm]
= [mm] -jcos(2x-\bruch{\pi}{2})+sin(2x-\bruch{\pi}{2})
[/mm]
Damit ist dann [mm] y_{p} [/mm] = [mm] Re(z_{p}) [/mm] = [mm] sin(2x-\bruch{\pi}{2})
[/mm]
Dann wäre die schlussendliche Lösung der Aufgabe:
y = [mm] y_{0} [/mm] + [mm] y_{p} [/mm] = [mm] e^{-\bruch{x}{2}}[C_{1}sin(\bruch{\wurzel{3}}{2}x)+C_{2}cos(\bruch{\wurzel{3}}{2}x)]+sin(2x-\bruch{\pi}{2})
[/mm]
evtl. liegt mein Fehler beim Ableiten des Ansatzes, da ich da nicht x ausgeklammert habe.
Ich hoffe, hier kann mir jemand weiterhelfen, ich habe versucht, es so übersichtlich wie möglich zu gestalten.
Grüße
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 So 27.05.2012 | | Autor: | kinaiii |
Habe es nun nochmal anders versucht, indem ich den Ansatz anders abgeleitet habe.
Damit komme ich auf den Ansatz:
[mm] z_{p} [/mm] = [mm] Ae^{-j\phi}e^{2xj}
[/mm]
der wird dann zu z'_{p} = [mm] 2jAe^{-j\phi}e^{2xj}
[/mm]
und z''_{p} = [mm] -4Ae^{-j\phi}e^{2xj}
[/mm]
Am Ende steht dann A = -4 + 2j und [mm] \phi [/mm] = [mm] -\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Womit ich dann auf
[mm] z_{p} [/mm] = [mm] (-4+2j)e^{j(2x+\bruch{\pi}{2})} [/mm] komme, was als
[mm] y_{p} [/mm] = [mm] -4cos(2x+\bruch{\pi}{2})-2sin(2x+\bruch{\pi}{2}) [/mm]
endet.
Ist das so nachvollziehbar / besser?
Grüße
Alex
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Hallo kinaii,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> y'' + y' + y = sin (2x)
>
> -> Lösen Sie die DGL unter Verwendung des komplexen
> Ansatzes!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Guten Morgen,
> ich habe mich mal an oben genannter Aufgabenstellung
> versucht, bin mir aber nicht sicher, ob ich dabei alles
> bedacht habe. Über den komplexen Ansatz zu
> Differentialgleichungen habe ich im Internet leider relativ
> wenig konkretes gefunden, habe aber einige Skripte sowie
> den Papula dazu durchstöbert.
>
> Hier mein Ansatz, mit dem ich auf ein Ergebnis komme:
>
> Zuerst Lösung der charakteristischen Gleichung:
>
> y''+y'+y=sin(2x)
>
> [mm]\lambda^2+\lambda+1=0[/mm]
>
> -> [mm]\lambda_{1/2}=-\bruch{1}{2}\pm[/mm] j [mm]\wurzel{\bruch{3}{4}}[/mm]
>
> Dann habe ich den Sinus in einen Cosinus umgewandelt, weil
> ich das bei allen komplexen Ansätzen so gesehen und daher
> als am einfachsten empfunden habe. Dazu eine komplexe
> Hilfsgleichung aus der reellen erstellt.
>
> [mm]z''+z'+z=cos(2x-\bruch{\pi}{2})=e^{j(2x-\bruch{\pi}{2})}[/mm]
>
> Mein Ansatz dazu: [mm]z_{p}=Ae^{j(2x-\phi)}[/mm]
> [mm]z'_{p}=jAe^{j(2x-\phi)}[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]z'_{p}=j\red{2}Ae^{j(2x-\phi)}[/mm]
> [mm]z''_{p}=-Ae^{j(2x-\phi)}[/mm]
>
Ebenso hier:
[mm]z''_{p}=-\red{\left(2\right)^{2}}Ae^{j(2x-\phi)}[/mm]
> Damit komme ich bei Einsetzen in
>
> [mm]z''+z'+z=cos(2x-\bruch{\pi}{2})=e^{j(2x-\bruch{\pi}{2})}[/mm]
>
> auf [mm]jAe^{j(2x-\phi)}[/mm] = [mm]e^{j(2x-\bruch{\pi}{2})}[/mm]
>
> Damit auf: A = [mm]\bruch{1}{j}[/mm] = -j
> [mm]\phi[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Damit bin ich dann mit meinem Ansatz und der Eulerformel
> bei:
>
> [mm]z_{p}=-je^{j(2x-\bruch{\pi}{2})}[/mm] =
> [mm]-j(cos(2x-\bruch{\pi}{2})+jsin(2x-\bruch{\pi}{2}))[/mm]
> = [mm]-jcos(2x-\bruch{\pi}{2})+sin(2x-\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> Damit ist dann [mm]y_{p}[/mm] = [mm]Re(z_{p})[/mm] = [mm]sin(2x-\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> Dann wäre die schlussendliche Lösung der Aufgabe:
> y = [mm]y_{0}[/mm] + [mm]y_{p}[/mm] =
> [mm]e^{-\bruch{x}{2}}[C_{1}sin(\bruch{\wurzel{3}}{2}x)+C_{2}cos(\bruch{\wurzel{3}}{2}x)]+sin(2x-\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> evtl. liegt mein Fehler beim Ableiten des Ansatzes, da ich
> da nicht x ausgeklammert habe.
> Ich hoffe, hier kann mir jemand weiterhelfen, ich habe
> versucht, es so übersichtlich wie möglich zu gestalten.
>
> Grüße
> Alex
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 So 27.05.2012 | | Autor: | kinaiii |
Dann ist also die veränderte Lösung, die ich in der Unterantwort "Idee" gepostet habe, richtig?
Danke schonmal!
Alex
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Hallo kinaii,
> Dann ist also die veränderte Lösung, die ich in der
> Unterantwort "Idee" gepostet habe, richtig?
>
Nein, diese Lösung ist nicht richtig.
> Danke schonmal!
> Alex
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 So 27.05.2012 | | Autor: | kinaiii |
Siehst du denn meinen Fehler darin? Das Ableiten des Ansatzes habe ich so vorgenommen wie du auch vorgeschlagen hast.
Dann habe ich den Realteil der komplexen Lösung als partikuläre Lösung benutzt.
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Hallo kinaii,
> Siehst du denn meinen Fehler darin? Das Ableiten des
> Ansatzes habe ich so vorgenommen wie du auch vorgeschlagen
> hast.
> Dann habe ich den Realteil der komplexen Lösung als
> partikuläre Lösung benutzt.
Den Ansatz hast Du offenbar nicht in die DGLeingesetzt,
sonst käme etwas anderes heraus.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 So 27.05.2012 | | Autor: | kinaiii |
Hallo MathePower,
kannst du denn in etwa abschätzen, was bei richtigem einsetzen herauskommen müsste?
Ich habe beim Einsetzen den Fehler gemacht, dass ich statt -3 eine -4 benutzt habe, weil sich die zweite Ableitung und der originale Ansatzterm ja aufheben und damit zu -3Ae usw. werden.
Damit komme ich dann für [mm] y_{p} [/mm] auf [mm] -3cos(2x+\bruch{\pi}{2})-2sin(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
Gruß
Alex
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Hallo kinaii,
> Hallo MathePower,
>
> kannst du denn in etwa abschätzen, was bei richtigem
> einsetzen herauskommen müsste?
>
> Ich habe beim Einsetzen den Fehler gemacht, dass ich statt
> -3 eine -4 benutzt habe, weil sich die zweite Ableitung und
> der originale Ansatzterm ja aufheben und damit zu -3Ae usw.
> werden.
>
> Damit komme ich dann für [mm]y_{p}[/mm] auf
> [mm]-3cos(2x+\bruch{\pi}{2})-2sin(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
Zunächst muss dies doch so lauten:
[mm]-3cos(2x+\bruch{\pi}{2})\blue{+}2sin(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
Dann fehlt hier noch ein Faktor,
durch den dieser Ausdruck zu dividieren ist.
> Gruß
> Alex
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 27.05.2012 | | Autor: | kinaiii |
Hallo MathePower,
das kann ich eventuell nun nachvollziehen.
Nachdem ich meinen Ansatz in die DGL einsetze, komme ich auf:
[mm] 2jAe^{-j\phi}-3Ae^{-j\phi}=e^{-j\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
Daraus mache ich: 2jA - 3A = 1 <=> A = [mm] \bruch{1}{-3+2j}
[/mm]
mit der Erweiterung der konjugiert komplexen Zahl:
A = [mm] \bruch{-3-2j}{13}
[/mm]
Dann steht am Ende bei mir:
[mm] y_{p}=\bruch{1}{13}(-3cos(2x+\bruch{\pi}{2})+2sin(2x+\bruch{\pi}{2}))
[/mm]
Kommt das so langsam hin? :D
Gruß
Alex
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Hallo kinaii,
> Hallo MathePower,
>
> das kann ich eventuell nun nachvollziehen.
> Nachdem ich meinen Ansatz in die DGL einsetze, komme ich
> auf:
>
> [mm]2jAe^{-j\phi}-3Ae^{-j\phi}=e^{-j\bruch{\pi}{2}}[/mm]
>
> Daraus mache ich: 2jA - 3A = 1 <=> A = [mm]\bruch{1}{-3+2j}[/mm]
> mit der Erweiterung der konjugiert komplexen Zahl:
>
> A = [mm]\bruch{-3-2j}{13}[/mm]
>
> Dann steht am Ende bei mir:
>
> [mm]y_{p}=\bruch{1}{13}(-3cos(2x+\bruch{\pi}{2})+2sin(2x+\bruch{\pi}{2}))[/mm]
>
> Kommt das so langsam hin? :D
>
Ja, das kommt hin. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gruß
> Alex
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 So 27.05.2012 | | Autor: | kinaiii |
Vielen Dank für die Hilfe :)
Nach einer etwas zähe Rechenprozedur habe ich es ja nun doch hinbekommen :)
Schöne Pfingsttage
Alex
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