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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Heute habe ich mir mal vorgenommen, ein bisschen Differentialgleichungen zu lernen.
Als erstes hätte ich da mal ein paar allgemeine Fragen:
es gibt gewöhnliche Differentialgleichungen, das sind die, wo nur eine Variable drin vorkommt? (also z. B. nur x) und partielle, wo mehrere Variablen vorkommen? Jedenfalls habe ich das so ähnlich gerade aus dem Wikipedia-Artikel über Dgl. und meinem Buch verstanden.
Und dann gibt es noch lineare Dgl. und nichtlineare oder so? Normalerweise weiß ich ja, was linear bedeutet, aber wie erkennt man denn an einer Differentialgleichung, ob sie nun linear ist oder nicht? (Wahrscheinlich würden hier schon zwei kleine Beispiele helfen...  )
So, und dann habe ich hier eine alte Aufgabe, für die ich (nur) 4 von 5 Punkten bekommen habe und nicht weiß, warum:
Bestimmen Sie die Lösungen x(t) der folgenden Differentialgleichung
[mm] x'(t)=\bruch{(1-2t)x(t)\cos(t(1-t))}{\sin(t(1-t))}
[/mm]
Ich habe dann ein paar Mal scharf hingeguckt und festgestellt, dass [mm] x(t)=K\sin(t(1-t)) [/mm] eine Lösung hierfür ist, was man durch Berechnen von x'(t) und Einsetzen verifizieren kann. Das habe ich auch gemacht, aber wo fehlt mir denn der letzte Punkt? Gibt es noch eine andere Lösung?
Und vielleicht noch eine Frage: muss man bei solch einer Aufgabe scharf hingucken und das schon erkennen oder gibt es in so einem (wohl recht einfachen) Fall noch eine andere Methode, falls man gerade ein Brett vor dem Kopf hat? ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Ach ja, und wie findet man z. B. bei dieser Aufgabe heraus, ob es sich um eine homogene oder eine inhomogene Dgl. handelt? (das war zwar nicht Aufgabenstellung, aber ich wüsste das trotzdem mal ganz gerne...)
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Zunächst mal zu den Definitionen:
Eine Differentialgleichung der Form
(1) [mm] $F(x,y,y',\ldots,y^{(n)})=0$
[/mm]
nennt man eine gewöhnliche Differentialgleichung $n$-ter Ordung.
Liegt sie in der Form
[mm] $y^{(n)}=f(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)})$
[/mm]
vor, so spricht man auch von einer expliziten Differentialgleichung.
Im Gegensatz dazu spricht man von einer partiellen Differentialgleichung, wenn eine Funktion von mehreren Veränderlichen gesucht ist, die einem (1) ähnlichen funktionalen Zusammenhang genügt, der partielle Ableitungen der gesuchten Funktion enthält.
Hängt [mm] $F(y_0,y_1,\ldots,y_n)$ [/mm] linear von den $n+1$ Veränderlichen ab, hat also die Differentialgleichung die Gestalt
[mm] $F(x,y,y',\ldots,y^{(n)})=a_n(x)y^{(n)} [/mm] + [mm] a_{n-1}(x)y^{(n-1)} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_0(x)y [/mm] + b(x)=0$
mit stetigen Funktionen [mm] $a_0,a_1,\ldots,a_n,b$, [/mm] so heißt die Differentialgleichung linear.
Ist $b=0$, d.h. die Nullfunktion, so handelt es sich um eine homogene (lineare) Differentialgleichung.
Sind die Funktionen [mm] $a_0,a_1,\ldots,a_n$ [/mm] konstant, so liegt eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten vor ($b$ braucht dabei nicht notwendigerweise konstant zu sein).
Beispiele:
$3y'=5y$ ist eine explizite, lineare, homogene Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
$y'' = [mm] -13\sqrt{y} [/mm] + y'$ ist eine explizite, nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.
Jetzt zu deinem Problem:
Du willst
[mm] $\frac{x'(t)}{x(t)} [/mm] = [mm] \frac{(1-2t)\cos(t(1-t))}{\sin(t(1-t))}$
[/mm]
lösen. Das bedeutet aber (logarithmische Ableitung):
[mm] $\frac{d}{dt} \left[ \log(x(t) \right] [/mm] = [mm] \frac{(1-2t)\cos(t(1-t))}{\sin(t(1-t))}$,
[/mm]
also:
[mm] $\log(x(t)) [/mm] = [mm] \int\limits_a^t \frac{(1-2s)\cos(s(1-s))}{\sin(s(1-s))}\, [/mm] ds + C$,
also:
$x(t) = [mm] e^{C \cdot \int\limits_a^t \frac{(1-2s)\cos(s(1-s))}{\sin(s(1-s))}\, ds} [/mm] = [mm] e^{C \cdot \log(\sin(t(t-1)) + C'} [/mm] = K [mm] \sin(t(t-1))^C$.
[/mm]
Dies ist die allgemeine Lösung.
Liebe Grüße
Stefan
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