ggT < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beiweisen die Teil ii aus satz.... (die Existenz des ggT)
ii)
Zu $[a],[b] [mm] \in \overline{R}\setminus\{\overline{0}\}$ [/mm] hat die Menge [mm] $\{[k] \in \overline{R}: k|a \wedge k|b\}$ [/mm] der Äquivalenzklassen gemneinsamer Teiler von $a$ und $b$ ein größtes Element. Seine Vertreter heißen größte gemeinsame Teiler von a und b. Man bezeichnet sie mit [mm] $\operatorname{ggT}(a,b)=k$ [/mm] für jedes solche $k$ Ist [mm] $\operatorname{ggT}(a,b)=1$, [/mm] so heißen $a$ und $b$ teilerfremd. |
Hallo ihr Lieben,
soweit ich die aufgabe richtig verstehe, soll ich zeigen, dass es ggT gibt (und dass ggT(a,b)=1 teilerfremdheit bedeutet, müss ich auch zeigen, denke ich)..
also meine gendanken soweit:
1.)
habe die menge $T:= [mm] \{ [k] \ \text{mit} \ k|b \ \text{und} \ k|a\}$ [/mm] , also die menge aller GEMEINSAMEN Teiler von a und b und suche davon jetzt das größte element....
2.)
ich zerlege a und b in primfaktoren:
[mm] $a=p_1*p_2*...*p_n=\produkt_{i=1}^{n}p_i$
[/mm]
[mm] $b=q_1*q_2*...*q_m=\produkt_{i=1}^{m}q_i$
[/mm]
suche aus den mengen [mm] $\{ p_i \}$ [/mm] und [mm] $\{ q_i \}$ [/mm] die elemente heraus die gleich sind, [mm] $q_i=p_i$ [/mm] und nehme aus dieser neuen menge das größte element...
das sind so die momentanen gedankengänge, die ich habe, allerdings komme ich genau immer bei der sache mit dem größten Element nicht weiter.. ich weiß, dass in der menge aller teiler T ein element [mm] $k_{\max}$ [/mm] existiert, dass größer als alle anderen Elemente ist, daher gilt: für alle $k [mm] \in [/mm] T: k [mm] \le k_{\max}$ [/mm] oder auch umgekehrt: [mm] $k_{\max} [/mm] < k --> [mm] k_{\max} [/mm] = k$ ( letzteres geht so in richtung lemma von zorn, denke ich).
aber ich weiß nun leider nicht, wie ich die sache mit dem größten element hinbekomme, wie zeige ich, dass es ein größtes element in T gibt?? (bei der teilerfremdheit habe ich bisher keine idee)
Ich komme da nicht weiter.. Kann mir jemand helfen??
Ich würde mich sehr über jeden tipp und jede idee freuen.
Vielen lieben dank.
pythagora
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Hallo pythagora,
habe deinen post mal editiert, musste aber deine "t" in "k" umbenennen, weil das kleine t in eckigen Klammern zu Konflikten führt(e) ...
Hoffe, ich habe alle erwischt 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Do 06.05.2010 | | Autor: | pythagora |
Hi schachuzipus,
danke, dann lag das also am t, dann nehme ich nächtes mal andere buchstaben; danke für die Mühe.
LG
pythagora
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:55 Fr 07.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hi schachuzipus,
> danke, dann lag das also am t, dann nehme ich nächtes mal
> andere buchstaben; danke für die Mühe.
Wenn man die Formeln in [mm]...[/mm] setzt gibt es keine Probleme.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Do 06.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Beiweisen die Teil ii aus satz.... (die Existenz des ggT)
Was ist Teil i= denn?
> ii)
> Zu [mm][a],[b] \in \overline{R}\setminus\{\overline{0}\}[/mm] hat die [/b][/mm]
Ist dieses R ein faktorieller Ring, [m]\overline{R}[/m] die Äquivalenzklassen bzgl. Multiplikation mit einem Inversen?
> soweit ich die aufgabe richtig verstehe, soll ich zeigen,
> dass es ggT gibt (und dass ggT(a,b)=1 teilerfremdheit
> bedeutet, müss ich auch zeigen, denke ich)..
Das erstere, das zweite ist nur eine Definition.
> suche davon jetzt das größte element....
Das größte bzgl. was? Bzgl. [m]a|b[/m], oder?
>ich weiß, dass in der
> menge aller teiler T ein element [mm]k_{\max}[/mm] existiert, dass
> größer als alle anderen Elemente ist, daher gilt:
Selbst bewiesen? Satz aus der Vorlesung? Oder mittels Zorn eifnach nur klar?
> Ich komme da nicht weiter.. Kann mir jemand helfen??
Nimm an du hast zwei maximale Elemente m und n. Dann gibt es eine Primzahlpotenz [m]p[/m] (bzw. Äquivklasse) mit [m]p^k|m,p^k\not{|}n[/m], daher aber [m]p^k|a,b[/m], also wäre [m]n*p[/m] ein Teiler von a und b im Widerspruch zur Maximalität von n. Warum es so ein [m]p^k[/m] gibt, musst du zeigen - es folgt aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung (und ist mir zu technisch  ). [wenn es so eins nicht gibt, sind m und n eh schon assoziiert).
SEcki
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Hallo,
danke für die schnelle antwort.
> > Beiweisen die Teil ii aus satz.... (die Existenz des ggT)
>
> Was ist Teil i= denn?
der teil, den ich drunter geschrieben habe, so wie ich das gelesen habe muss ich nachweisen, dass es einen ggT gibt
> > ii)
> > Zu [mm][a],[b] \in \overline{R}\setminus\{\overline{0}\}[/mm] hat [/b][/mm]
> [mm][b]die[/b][/mm]
>
> Ist dieses R ein faktorieller Ring, [m]\overline{R}[/m] die
> Äquivalenzklassen bzgl. Multiplikation mit einem
> Inversen?
jap, müsste so sein..
> > soweit ich die aufgabe richtig verstehe, soll ich zeigen,
> > dass es ggT gibt (und dass ggT(a,b)=1 teilerfremdheit
> > bedeutet, müss ich auch zeigen, denke ich)..
>
> Das erstere, das zweite ist nur eine Definition.
>
> > suche davon jetzt das größte element....
>
> Das größte bzgl. was? Bzgl. [m]a|b[/m], oder?
das größte element aus der menge der teiler von a und b
> >ich weiß, dass in der
> > menge aller teiler T ein element [mm]k_{\max}[/mm] existiert, dass
> > größer als alle anderen Elemente ist, daher gilt:
>
> Selbst bewiesen? Satz aus der Vorlesung? Oder mittels Zorn
> eifnach nur klar?
nummer 2 ^^ es muss ja irgendwie einen größten gem. Teiler geben und wenn's halt nur die 1 ist..
> > Ich komme da nicht weiter.. Kann mir jemand helfen??
>
> Nimm an du hast zwei maximale Elemente m und n. Dann gibt
> es eine Primzahlpotenz [m]p[/m] (bzw. Äquivklasse) mit
> [m]p^k|m,p^k\not{|}n[/m], daher aber [m]p^k|a,b[/m], also wäre [m]n*p[/m] ein
> Teiler von a und b im Widerspruch zur Maximalität von n.
> Warum es so ein [m]p^k[/m] gibt, musst du zeigen - es folgt aus
> der eindeutigen Primfaktorzerlegung (und ist mir zu
> technisch ). [wenn es so eins nicht gibt, sind m und n
> eh schon assoziiert).
?? tut mir leid, aber das verstehe ich nicht wirklich (den teil ab "Dann gibt es eine Primzahlpotenz" meine ich^^)
also nehme ich 2 elemente, jeweils die größten un ddannn??
ich habe gerade hinweise bekommen:
Ein möglicher Beweis beruht auf Korollar 5.2/15. Damit lässt sich ein Repräsentant von [mm] ggT_P [/mm] explizit angeben.
Korollar 5.2/15 besagt, dass jedes elemt in einem Hauptidealsystem R ein Vertretersystem P der Äquivalenzklassen hat und dass dich jedes Element a [mm] \in [/mm] R \ {0} in eindeutiger WEise darstellen lässt:
a= [mm] \varepsilon \produkt_{p \in P}^{}p^{ \ mu_p(a) }
[/mm]
[mm] p^{ \ mu_p(a) } [/mm] ist das produkt von Primfaktoren.
Ih komme da immer noch nicht weiter, wie ich jetzt auf das maximale element in meiner menge komme. Nach zorn wäre es ja ein element max aus der Menge M mit den elementen m:
max < m --> m= max
das würde dann bedeuten, dass es keine größeren elemente als max gibt, aber wie baue ich das ein?? oder brauche ich eine andere definition??
LG und vielen Dank für die Mühe
pythagora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Do 06.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> danke für die schnelle antwort.
Ich finde, du solltest dir vor so schnellem erneuten Frage stellen selber noch eins, zwei Gedanken machen mit der Antwort, bevor du wieder postest. Das kommt mir zu schnell vor!
> > Was ist Teil i= denn?
> der teil, den ich drunter geschrieben habe, so wie ich das
> gelesen habe muss ich nachweisen, dass es einen ggT gibt
Teil i) vom SAtz ... du schreibst ws von ii). Rein interessehalber.
> > Das größte bzgl. was? Bzgl. [m]a|b[/m], oder?
> das größte element aus der menge der teiler von a und b
Was soll das "größte" denn sein? Ich kann es mir hier ja denken, aber dir sollte es auch klar sein, was das größte denn bedeuten soll - da normalerweise Ringe nicht angeordnet sind.
> ?? tut mir leid, aber das verstehe ich nicht wirklich (den
> teil ab "Dann gibt es eine Primzahlpotenz" meine ich^^)
> also nehme ich 2 elemente, jeweils die größten un
> ddannn??
Und dann zeigst du, dass sie nicht maximal sind, wenn sie nicht gleich sind.
> ich habe gerade hinweise bekommen:
> Ein möglicher Beweis beruht auf Korollar 5.2/15.
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung - das ist das Korollar. Vergleiche die beiden maximalen Elemente bzgl. dieser. Dann sind sie gleich, oder aber du kannst eines vergrößern mittels Multiplikation mit p.
> Ih komme da immer noch nicht weiter, wie ich jetzt auf das
> maximale element in meiner menge komme.
Hm? Ich dachte, dass es maximale gibt, ist klar bzw. bekannt. Dass zwei maximale Elemente gleich sind aber noch offen. Oder wie oder was?
> Nach zorn wäre es
> ja ein element max aus der Menge M mit den elementen m:
> max < m --> m= max
Ich will aber auch mal sehn, wie du Zorn anwendest, unendliche Produkte gibt es ja nicht.
> LG und vielen Dank für die Mühe
Versuch einmal alle Definitonen zusammenzutragen und mal mit der Primfaktorzerlegung zu arbeiten. Im Zweifel mal über [m]\IZ[/m], um ein Gefühl zu bekommen.
SEcki
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Hi, praktisch, dass du schreibst, ich wollte auch gerade noch was anhängen, ich habe jetzt noch mal im Skript gelesen und habe so angefangen:
ZZ: a und b haben einen ggT
Primfaktorzerledung von a und b:
[mm] a=\produkt_{p \in P}p^{\mu(a)}
[/mm]
[mm] b=\produkt_{p \in P}p^{\mu(b)}
[/mm]
und jetzt muss ich ja zeigen, dass in beiden der ggT ist
[mm] ggT(a,b)=\produkt_{p \in P}p^{min(\mu(a),\mu(b))}
[/mm]
und nun??
wenn ich jetzt a zerlege in ggT und Rest:
a=ggT*Rest, dann bekomme ich ja:
[mm] a=\produkt_{p \in P}p^{min(\mu(a),\mu(b))}*\produkt_{p \in P}p^{\mu(a) / min(\mu(a),\mu(b))}
[/mm]
oder besser:
[mm] a=\produkt_{p \in P}p^{min(\mu(a),\mu(b))}*\produkt_{p \in P}p^{\bruch{\mu(a)}{/ min(\mu(a),\mu(b)}}
[/mm]
welche schreibweise ist besser??
und das gleiche auch für b, und dann sieht man, dass ein faktor eber der ggT ist, der dann bei beiden vorkommt..
Muss ich dann noch was zeigen?? (z.b., dass alle anderen Teiler von a und b den ggT teilen)??
Ich bin mir da unsicher und brauche eine Idee
Vielen dank für deine Hilfe
pythagora
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 08.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich habe eine Frage zur Aufgabenstellung und zwar habe ich den beweis geführt:
Seien [a],[b] [mm] \in \overline{R}. [/mm] Wählen wir ein a [mm] \in [/mm] [a] und ein [mm] b\in [/mm] [b]. Dann gilt mit Primzerlegung:
[mm] a=\produkt_{p \in P} p^{ \mu_{p}(a)}
[/mm]
und [mm] b=\produkt_{p \in P} p^{ \mu_{p}(b)}
[/mm]
Dann ist [mm] ggT=\produkt_{p \in P} p^{ min(\mu_{p}(a), \mu_{p}(b))}
[/mm]
Da [mm] a=\produkt_{p \in P} p^{ min(\mu_{p}(a), \mu_{p}(b))}*\produkt_{p \in P} p^{ (\mu_{p}(a)-min(\mu_{p}(a), \mu_{p}(b)))}
[/mm]
und [mm] b=\produkt_{p \in P} p^{ min(\mu_{p}(a), \mu_{p}(b))}*\produkt_{p \in P} p^{ (\mu_{p}(b)-min(\mu_{p}(a), \mu_{p}(b)))}
[/mm]
ist d:= [mm] \produkt_{p \in P} p^{ min(\mu_{p}(a), \mu_{p}(b))} [/mm] ein gemeinsamer Teiler von a und b. Ich weiß nun nur nicht ob ich schon alles gezeigt habe. oder muss ich noch zeigen, dass jeder weitere Teiler c auch ein Teiler von d ist?
da bin ich mir nicht sicher weil eigentlich steht doch da ich soll nur die Existenz des ggT zeigen und das hätte ich doch somit oder?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Do 06.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> dass jeder weitere Teiler c auch ein Teiler von d ist?
Du musts am ehesten zeigen: Falls [m]d|e[/m] und e Teiler, dann sind d und e assoziiert. Wenn du auch noch aus c teilt a und b folgst, dass [m]c|d[/m], dann hast du die Eindeutigkeit.
EDIT: Tobias hat in so fern Recht, als das obiges Quote vollständig genügt.
SEcki
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> > dass jeder weitere Teiler c auch ein Teiler von d ist?
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> Du musts am ehesten zeigen: Falls [m]d|e[/m] und e Teiler, dann
> sind d und e assoziiert.
das verstehe ich nicht wirklich, ist das für die Aufgabe wirklich erfolgreich?... assoziertheit bedeutet ja das es eine Einheit e [mm] \in [/mm] R* gibt sodass ae=b
aber wie kann ich das denn heir anwenden muss ich das auch mit der Primzerlegung machen?
> Wenn du auch noch aus c teilt a
> und b folgst, dass [m]c|d[/m], dann hast du die Eindeutigkeit.
>
aber nach der Eindeutigkeit ist ja explizit gar nicht gefragt muss sie dann überhaupt gezeigt werden?...
LG Schmetterfee
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Ich habe mal einen versuch für den Beweid der Eindeutigkeit gestartet. Dies habe ich am Beispiel der ganzen Zahlen gemacht und weiß nun nich genau wie ich das verallgemeinern soll oder obd as so geht:
Seien [mm] t_{1}, t_{2} [/mm] zwei größte gemeinsame Teilen von a und b.
Man nehme an, dass [mm] t_{1} [/mm] ein gemeinsamer Teiler von a und b ist und [mm] t_{2} [/mm] ein größter gemeinsmer Teiler von a und b ist, d.h. [mm] t_{2} [/mm] wird von jedem andere gemeinsamen Teiler geteilt. Also [mm] t_{1}|t_{2}.
[/mm]
Vertauscht man nun diue beiden Rollen von [mm] t_{1} [/mm] und [mm] t_{2} [/mm] so folgt [mm] t_{2}|t_{1}. [/mm] Also gilt [mm] t_{1}=q_{1}t_{2} [/mm] und [mm] t_{2}=q_{2}*t_{1}
[/mm]
Daraus folgt [mm] t_{1}=q_{1}t_{2}=q_{1}q_{2}t_{1} [/mm] also [mm] q_{1}q_{2}=1
[/mm]
Dann ist auch [mm] t_{2}=q_{2}t_{1}=t_{1}
[/mm]
geht der bewie so?...ich weiß nur nichtr ganz wie ich die q defineiren soll bei den ganzen Zahlen kann man folgern, dass es einheiten sind aber das geht ja in diesem allgemeinen Falkl nicht oder?
muss ich jetzt den anderen schritt über haupt noch zeigen?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 08.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 08.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:47 Do 06.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> > dass jeder weitere Teiler c auch ein Teiler von d ist?
>
> Du musts am ehesten zeigen: Falls [m]d|e[/m] und e Teiler, dann
> sind d und e assoziiert.
Damit wäre dann gezeigt, dass $[d]$ ein MAXIMALES Element in der Äquivalenzklassenmenge aus der Aufgabenstellung ist. Die Behauptung aus der Aufgabenstellung ist aber stärker: Es wird sogar die Existenz eines GRÖßTEN Elementes behauptet. Daher hat Schmetterfee mit ihrer Feststellung, was noch zu zeigen ist, recht.
> Wenn du auch noch aus c teilt a
> und b folgst, dass [m]c|d[/m], dann hast du die Eindeutigkeit.
Größte Elemente bezüglich partieller Ordnungen sind stets eindeutig. Aber in der Aufgabenstellung wird ohnehin nur die Existenz und nicht die Eindeutigkeit eines größten Elementes behauptet. Schmetterfees Einwand ist also völlig berechtigt.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 11:46 Fr 07.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Du musts am ehesten zeigen: Falls [m]d|e[/m] und e Teiler, dann
> > sind d und e assoziiert.
> Damit wäre dann gezeigt, dass [mm][d][/mm] ein MAXIMALES Element
> in der Äquivalenzklassenmenge aus der Aufgabenstellung
> ist.
Ja.
> Die Behauptung aus der Aufgabenstellung ist aber
> stärker: Es wird sogar die Existenz eines GRÖßTEN
> Elementes behauptet.
Was verstehst du unter diesen Ausdrücken?
> Daher hat Schmetterfee mit ihrer
> Feststellung, was noch zu zeigen ist, recht.
Wenn sie das zeigen kann, hat sie die EIndeutigkeit und Maximalität. Stimmt, meines ist dann dort umständlicher - der Tip kommt vom anderne teilstrang, wo wir schon ein maximales Element hatten (irgendwo her, nen satz vorher, was weiß ich) - dann müssen wir natürlich noch die Eindeutigkeit zeigen, um zum größten zu kommen.
Summa sumarum: man kann es wie Schmetterfee machen, ist genauso richtig (und daher die Antwort wohl so wie geschrieben falsch). Meins ist aber auch nicht falsch, wohlmöglich aber umständlicher in diesem Fall.
> > Wenn du auch noch aus c teilt a
> > und b folgst, dass [m]c|d[/m], dann hast du die Eindeutigkeit.
> Größte Elemente bezüglich partieller Ordnungen sind
> stets eindeutig.
Was soll größtes denn dann bitteschön heissen, wenn nicht maximal und eindeutig?
> Aber in der Aufgabenstellung wird ohnehin
> nur die Existenz und nicht die Eindeutigkeit eines
> größten Elementes behauptet.
Dann gebe mir doch bitte ein Beispiel, wo diese Begriffe auseinander driften - mir fällt da ad hoc keins ein. Also ein größtes Element, was nicht eindeutig ist. Ich denke, es hängt nur an Begrifflichkeiten.
SEcki
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 16:31 Fr 07.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo SEcki,
> > Die Behauptung aus der Aufgabenstellung ist aber
> > stärker: Es wird sogar die Existenz eines GRÖßTEN
> > Elementes behauptet.
> > Was verstehst du unter diesen Ausdrücken?
Die Definitionen findest du z.B. bei Wikipedia unter ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Maximales_und_minimales_Element und http://de.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6%C3%9Ftes_und_kleinstes_Element.
> > Daher hat Schmetterfee mit ihrer
> > Feststellung, was noch zu zeigen ist, recht.
> Wenn sie das zeigen kann, hat sie die EIndeutigkeit und
> Maximalität. Stimmt, meines ist dann dort umständlicher -
> der Tip kommt vom anderne teilstrang, wo wir schon ein
> maximales Element hatten (irgendwo her, nen satz vorher, > was weiß ich) - dann müssen wir natürlich noch die
> Eindeutigkeit zeigen, um zum größten zu kommen.
Auch das würde nicht reichen: Größte Elemente sind automatisch eindeutig bestimmte maximale Elemente. Die Umkehrung dieser Aussage ist jedoch falsch.
> > > Wenn du auch noch aus c teilt a
> > > und b folgst, dass [m]c|d[/m], dann hast du die Eindeutigkeit.
> > Größte Elemente bezüglich partieller Ordnungen sind
> > stets eindeutig.
> Was soll größtes denn dann bitteschön heissen, wenn
> nicht maximal und eindeutig?
Siehe obige Links.
> > Aber in der Aufgabenstellung wird ohnehin
> > nur die Existenz und nicht die Eindeutigkeit eines
> > größten Elementes behauptet.
> > Dann gebe mir doch bitte ein Beispiel, wo diese Begriffe
> auseinander driften - mir fällt da ad hoc keins ein. Also
> ein größtes Element, was nicht eindeutig ist.
Ein solches Beispiel gibt es nicht. Wie ich im vorherigen Post schrieb: Größte Elemente sind stets eindeutig. Das ist aber nicht Gegenstand der Aufgabenstellung, in der es nur um die Existenz geht.
> Ich denke, es hängt nur an Begrifflichkeiten.
Das sehe ich auch so. Vermutlich hat es sich nun mit der Definition von "größtes Element" geklärt.
Viele Grüße
Tobias
P.S.: Fahre jetzt für das Wochenende in den Urlaub und kann daher erst Sonntag Abend oder Montag wieder reagieren.
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 17:46 Fr 07.05.2010 | | Autor: | SEcki |
Irgendwie nervt, dass man keine einfachen Mitteilungen schreiben kann, sondern nur Korrekturmitteilungen ...
> Auch das würde nicht reichen: Größte Elemente sind
> automatisch eindeutig bestimmte maximale Elemente. Die
> Umkehrung dieser Aussage ist jedoch falsch.
Vergleich einfach noch mal was ich geschrieben habe und was Schmetterfee geschrieben hat - du verennst dich da in was, denn meines ist ja lediglich ein schritt mehr, der von Schmetterfee ist in meinem enthalten. Worauf du hinaus willstz, ist mir nicht klar.
Bedenke hier: jede Kette hat ein maximales Element (da beschränkt von a bzw. b), dh die Eindeutigkeit des maximalen Elemtns impliziert hier sofort größtes Element. Die Aussage ist doch nur falsch, wenn es Ketten ohne maximale Elemente gibt. Wenn aber jede Kette ein maximales Element hat, und das maximale Element eindeutig ist ... dann passt es genau. Wenn nicht, bitte ich um ein Beispiel.
Daher verstehe ich einfach nicht, was du an meiner Antwort so fundamental falsch findest.
> P.S.: Fahre jetzt für das Wochenende in den Urlaub und
> kann daher erst Sonntag Abend oder Montag wieder reagieren.
Ich warte schon. Ich glaube, du hast dich da auch ein bisschen verrannt ... ich habe jedenfalls versucht, den Gedanken des andren Teil-Stranges zu folgen.
SEcki
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 23:53 So 09.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hi SEcki,
das Warten hat ein Ende...
Vorweg: Sei [mm] $M:=\{[k] \in \overline{R}: k|a \wedge k|b\}$ [/mm] die Menge, von der gezeigt werden soll, dass sie ein größtes Element besitzt.
> Irgendwie nervt, dass man keine einfachen Mitteilungen
> schreiben kann, sondern nur Korrekturmitteilungen ...
Das nervt mich auch immer. Am besten fände ich, wenn man auf Korrekturmitteilungen genau wie auf andere Beiträge mit Mitteilungen und Fragen reagieren könnte.
> Vergleich einfach noch mal was ich geschrieben habe und was
> Schmetterfee geschrieben hat - du verennst dich da in was,
> denn meines ist ja lediglich ein schritt mehr, der von
> Schmetterfee ist in meinem enthalten.
Tatsächlich hatte ich etwas überlesen! Du schriebst in deiner von mir beanstandeten Antwort:
> Wenn du auch noch aus c teilt a und b folgst, dass c|d, dann hast du die Eindeutigkeit.
Ich hatte nur gelesen: "Wenn du ... zeigst, hast du die Eindeutigkeit" und mich mit den drei Pünktchen gar nicht auseinandergesetzt. Anstelle der drei Pünktchen steht in der Tat genau das, was (gemäß der Definition von "größtes Element") zu zeigen ist, damit $[d]$ größtes Element in M ist. Und darum geht es hier, nicht um eine Eindeutigkeit.
> Worauf du hinaus
> willstz, ist mir nicht klar.
Einen Großteil deiner bisherigen Beiträge verstehe ich so, dass du vorschlägst, nicht direkt mit der Definition von "größtes Element" zu arbeiten, sondern zu zeigen, dass M genau ein maximales Element besitzt (indem man zeigt, dass $[d]$ ein maximales Element in M ist, und die Eindeutigkeit des maximalen Elements beweist). Mein Einwand war, dass das alleine nicht hinreichend dafür ist, dass M ein größtes Element besitzt (also weniger gezeigt wäre, als das zu Zeigende).
> Die Aussage ist doch nur falsch, wenn es Ketten ohne
> maximale Elemente gibt. Wenn aber jede Kette ein maximales
> Element hat,...
Mit einem "maximalen Element einer Kette [mm] $K\subset [/mm] M$" meinst du nicht ein "maximales Element in K bezüglich der partiellen Ordnung auf K (von der partiellen Ordnung auf M induziert)", sondern eine "obere Schranke von K in M", oder?
> ... und das maximale Element eindeutig ist ...
> dann passt es genau.
Ja, wenn M eine partiell geordnete Menge ist, jede Kette [mm] $K\subset [/mm] M$ eine obere Schranke in M besitzt und das (nach dem Lemma von Zorn existierende) maximale Element von M eindeutig ist, dann ist dieses maximale Element schon ein größtes Element (wie ich mit etwas Mühe zeigen konnte).
> Bedenke hier: jede Kette hat ein maximales Element (da
> beschränkt von a bzw. b), dh die Eindeutigkeit des
> maximalen Elemtns impliziert hier sofort größtes Element.
Im Allgemeinen muss weder a noch b in unserer Menge M sein! Daher müsstest du irgendwie anders begründen, dass jede Kette [mm] $K\subset [/mm] M$ eine obere Schranke in M besitzt, wenn du diesen "indirekten" Weg weiter verfolgen möchtest.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo, ich komm mit dieser Aufgabe echt nicht weiter. Kann mir jemand nen Ansatz dafür geben das ich zeigen kann, dass jeder weiterer Teiler c auch ein Teiler von d ist?
ich wäre über jeden noch so kleinen Hinweis dankbar.
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 So 09.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> ich wäre über jeden noch so kleinen Hinweis dankbar.
Gebetsmühle (da schon mehrfach genannt): schau dir die Primfaktorenzerlegung von c an. Wenn die Primzahlpotenzen von c a und b teilen - was folgt dann für d nach Konstruktion?
SEcki
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