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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Erstie |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in \IN [/mm] \ 0 und u,v,x,y, [mm] \in \IZ.
[/mm]
Zeigen Sie: Gilt u*v=x*y mit ggT(u,x)=1, so ist u ein Teiler von y. |
Hallo zusammen,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß nicht genau, ob mein Lösungsweg so überhaupt korrekt ist. Hoffe ihr könnt mir hierbei weiterhelfen.
Soweit habe ich Folgendes raus:
Wenn ggT(u,x)=1, dann gilt
1) 1|u und 1|x
2) [mm] \forall [/mm] d [mm] \in \IZ [/mm] gilt: d teilt nicht u und d teilt nicht x
also folgt daraus: v teilt nicht u; v teilt nicht x; y teilt nicht u; y teilt nicht x; x teilt nicht u; u teilt nicht x;
Außerdem: y teilt nicht v und v teilt nicht y, da man ansonsten nie (xy)/(uv)=1 bzw. uv=xy erhält. Ließen sich die beiden Zahlen y,v kürzen, dann würde bspw. im Zähler nur x stehen. Dies ist jedoch nicht möglich, da Zähler und Nenner gleich sein müssen. Dazu bräuchte man noch eine weitere Zahl im Zähler, die nicht 1 ist. Deshalb teilen sich y und v nicht.
Übrig bleiben also nur noch : x|v und u|y, damit man (xy)/(uv)=1 bzw. uv=xy erhält.
Dies zeigt u|y .
Meine Frage ist nun, ob der Beweis so richtig ist. Kann man durch Ausschließen zeigen, dass u y teilt?
Vielen Dank im Voraus
Erstie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Fr 12.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein 1) ist überflüssig, da 1 alle Zahlen teilt
dein 2) ist falsch
z. Bsp 15,16 ggT=1 d1=5 teilt 15,aber nicht 16, d2=4 teilt 16 aber nicht 15
damit ist auch der rest falsch. etwa 4*12=3*16
u teilt v usw.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Erstie |
Hallo leduart,
danke für die schnelle Antwort.
Stimmt, du hast recht. Dann muss ich wohl wieder von vorne anfangen. Könntest du mir vllt. einen Tipp geben? Ich weiß nicht genau wie ich das machen soll.
edit:
Meine obige Ausführung in "2)" müsste doch eigentlich stimmen:
Wenn man also von ggT(u,x)=1 ausgeht, dann darf es kein d $ [mm] \in \IZ [/mm] $ geben, sodass gilt: d teilt x und d teilt u.
d.h.: v teilt nicht u und v teilt nicht x; das gleiche gilt dann auch für y.
Darüber hinaus teilt x nicht u und u nicht x, weil sie teilerfremd sind.
Das müsste doch soweit stimmen, oder?
Auch für dein Bsp: uv=xy : 4*12=3*16 klappt dies. 12 teilt nicht 3 und 12 teilt nicht 4. Ebenso wie 16 teilt nicht 4 und 16 teilt nicht 3. 4 teilt nicht 3 und 3 teilt nicht 4.
Für einen kleinen Tipp wäre ich sehr dankbar.
LG Erstie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Erstie |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:16 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo leduart,
>
> danke für die schnelle Antwort.
> Stimmt, du hast recht. Dann muss ich wohl wieder von vorne
> anfangen. Könntest du mir vllt. einen Tipp geben? Ich
> weiß nicht genau wie ich das machen soll.
>
> edit:
> Meine obige Ausführung in "2)" müsste doch eigentlich
> stimmen:
>
> Wenn man also von ggT(u,x)=1 ausgeht, dann darf es kein d
> [mm]\in \IZ[/mm] geben, sodass gilt: d teilt x und d teilt u.
Doch: $d = 1$ und $d = -1$.
Zeig das ganze doch mit starker Induktion nach $u$:
* Induktionsanfang: ist $1 * v = x y$ und $ggT(1, x) = 1$, so ist $1$ ein Teiler von $y$.
Das ist einfach.
* Induktionsvoraussetzung: fuer alle $u' < u$ gilt: ist $u' v' = x' y'$ mit $ggT(u', x') = 1$, so ist $u'$ ein Teiler von $y'$.
Jetzt hast du $u x = x y$ mit $ggT(u, x) = 1$. Da $u > 1$ ist gibt es eine Primzahl $p$ mit $p [mm] \mid [/mm] u$. Schreibe $u = p u'$. Da $ggT(u, x) = 1$ kann $p$ kein Teiler von $x$ sein (warum?). Da $p$ das Produkt $x y$ teilt (warum?), muss $p$ ein Teiler von $y$ sein (warum?).
Jetzt versuche, die Induktionsbehauptung anzuwenden.
LG Felix
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