ggT Aufgabe Beweise < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mo 11.01.2010 | | Autor: | dana1986 |
| Aufgabe | Seien [mm] a\ge1, b\ge1, k\ge1 [/mm] und [mm] t\ge [/mm] natürliche Zahlen. Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
a) ggT(a*b, k*t) = 1
b) ggT(a,b) = ggT(b,k) = ggT(k,t) = ggT(a,t) = 1 |
Hi,
also ich hab heute die Aufgabe bekommen und bräuchte nen Ansatz wie ich das beweisen kann.
LG
Dana
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Dana,
das kannst du nicht beweisen. Es ist nämlich falsch.
Einfaches Gegenbeispiel: a=3, b=21, k=5, t=10.
Da hätte als Aufgabe stehen müssen:
> Seien [mm]a\ge1, b\ge1, k\ge1[/mm] und [mm]t\ge[/mm] natürliche Zahlen.
> Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
>
> a) [mm] ggT(a*b,k*t)=1 [/mm]
> b) [mm] ggT(a,\green{k})=ggT(b,k)= ggT(\green{b},t)=ggT(a,t)=1
[/mm]
Mit den beiden grünen Änderungen macht es mehr Sinn. Dann sind die beiden Richtungen der Äquivalenz zu zeigen.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Mo 11.01.2010 | | Autor: | dana1986 |
hi erstmal danke, aber das steht so in der Aufgabe :(
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Tja, auch Aufgabensteller machen Fehler.
Es reicht ja ein Gegenbeispiel. Du wirst leicht ein anderes finden als meins.
Trotzdem kannst Du ja schonmal die "richtige" Aufgabenstellung beweisen. Dann freut sich jemand... - mindestens schonmal Du selbst. 
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Mo 11.01.2010 | | Autor: | dana1986 |
also kann ich a) beweisen und b) nicht?
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Darum geht es doch gar nicht.
Du sollst doch zeigen, dass die beiden Aussagen äuqivalent sind. Das heißt also: aus a) folgt b) und aus b) folgt a)
[mm] a\Rightarrow{b}\ \wedge\ b\Rightarrow{a}
[/mm]
also [mm] a)\gdw{b)}
[/mm]
Ein Gegenbeispiel zeigt, dass a) wahr und b) falsch sein kann.
Übrigens lässt sich auch leicht ein Gegenbeispiel finden, so dass b) wahr und a) falsch ist.
lg
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:52 Di 12.01.2010 | | Autor: | dana1986 |
ach sooo jetzt hab ich das gecheckt :)
Also setz ich z.B. a) voraus und zeig dann dass b) nicht wahr sein kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:57 Di 12.01.2010 | | Autor: | reverend |
Auch noch nicht ganz.
Wenn Du a) voraussetzt, kann b) wahr sein. Du sollst aber zeigen, dass es dann wahr sein muss, und das ist eben nicht der Fall, genausowenig wie umgekehrt.
Gute Nacht,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:05 Di 12.01.2010 | | Autor: | dana1986 |
dank dir ich probiers mal der Weg ist das Ziel :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:58 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
es spielt wahrscheinlich keine Rolle mehr, da reverend den Tippfehler von dana1986 bereits konsistent behoben hat, zur Sicherheit (und Archivierungszwecken ) hier aber noch mal die Originalaufgabenstellung:
| Aufgabe | Seien [mm] $a\ge [/mm] 1, [mm] b\ge [/mm] 1, [mm] k\ge [/mm] 1$ und [mm] $t\ge [/mm] 1$ natürliche Zahlen.
Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i) [mm] $\ggT(a*k, [/mm] b*t) = 1$
(ii) [mm] $\ggT(a,b) [/mm] = [mm] \ggT(a,t) [/mm] = [mm] \ggT(b,k) [/mm] = [mm] \ggT(k,t) [/mm] = 1$. |
(Der Tippfehler war also in der Aussage (i))
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:01 Mi 13.01.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Marc,
woher hast Du eigentlich immer die Originale? 
So macht die Aufgabe endlich Sinn - natürlich den gleichen, wie mit meiner Korrektur. Der nachzuweisende Sachverhalt ist hier ja auch der einzig interessante, und so offensichtlich er scheint, so nett ist es, dafür einen Beweis zu finden.
Liebe Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Mi 13.01.2010 | | Autor: | dana1986 |
oh ja jetzt seh ich es auch sorry :)
aber die Äquivalenz geht trotzdem nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Mi 13.01.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Dana,
doch - wenn die Aufgabe so ist, wie Marc sie angegeben hat (oder so, wie ich vermutet habe), dann sind die beiden Aussagen äquivalent.
Das musst Du nur noch zeigen.
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Do 14.01.2010 | | Autor: | dana1986 |
ja nur wie? ich will schon mal so ein bisschen wiederholen für die Klausur am 20.2. aber irgendwie fehlen mir so die Grundlagen, das hab ich in der Schule nie gemacht und Bücher hab ich auch noch keine guten gefunden
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Do 14.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> ja nur wie? ich will schon mal so ein bisschen wiederholen
> für die Klausur am 20.2. aber irgendwie fehlen mir so die
> Grundlagen, das hab ich in der Schule nie gemacht und
> Bücher hab ich auch noch keine guten gefunden
Mit Teilbarkeit. Sei zB [m]ggT(a,b)=x> 1[/m], dann gilt also [m]x|a, x|b[/m], und damit dann [m]1
SEcki
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habe auch diese Aufgabe...aber etwas ist bei mir noch nicht ganz klar:
wenn ich also jetzt 1<ggT(a*k,b*t) habe, reicht das als Aussage für die Äquivalenz?
Und den umgedrehten Fall mit den Primzahlen ist bei mir auch noch nicht so ganz angekommen...sorry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 18.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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